Exercícios Resolvidos de Achar a Integral pela Soma de Riemann

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Enunciado

Seja A a medida da área da região limitada inferiormente pelo eixo x, superiormente pela função f ( x )   =   x 2 + 1 , à esquerda pela reta x = 1 e à direita pela reta x = 3 .

(c) Estime o valor de A dividindo o intervalo [1; 3] em duas partes iguais e usando dois retângulos abaixo do gráfico de f. Faça um gráfico representando a situação.

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Ela é uma continuação, então vamos recapitular o que sabemos até aqui: fizemos o esboço da região delimitada pelas curvas

R : f x = x 2 + 1 x = 1 ,   x = 3 y = 0

A área A é a área correspondente à essa região. E podemos escrever em termos de uma integral:

A = ∫ 1 3 [ x 2 + 1 ] d x  

Agora o problema nos pede para estimar essa mesma região, mas agora utilizando dois retângulos de bases iguais, dividindo o intervalo em dois. E mais, pede para calcularmos essa região subestimando a região! Ou seja, abaixo de f ( x )

Então a ideia aqui é dividir esse intervalo em dois, achar os retângulos no gráfico da região A e estimar somando as áreas desses dois retângulos!

Mas relaxa, vamos fazer passo a passo juntos!

Passo 2

Vamos começar dividindo o intervalo em 2 !

O intervalo vai de x = 1 até x = 3 :

Δ x = 3 - 1 2 = 1

Então temos que o primeiro intervalo é

x = 1 + Δ x = 1 + 1 = 2

De x = 1 até x = 2 , e o outro

x = 2 + Δ x = 2 + 1 = 3

De x = 2 até x = 3 !

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora vamos desenhar dois retângulos com alturas até a função f ( x ) . Um começando em x = 1 até x = 2 , e o outro de x = 2 até x = 3 :

Note que esses com apenas esses dois retângulos não teremos uma estimativa muito boa para região, mas uma estimativa subestimada

Beleza?

Passo 4

Agora nossa missão é encontrar a área desses dois retângulos aí! A área de um retângulo é b a s e × a l t u r a

Δ x ! E a altura? Vale o valor da função f ( x ) no ponto à esquerda do intervalo! Isso é estimar a área pela soma de Riemann pela esquerda!

f ( x ) , então vamos pegar o ponto à direita do intervalo! Mas isso é papo para a próxima questão da lista!

A 1 e A 2 :

Vamos calcular A 1 primeiro:

A 1 = Δ x . f 1

Lembrando que f x = x 2 + 1 , então f 1 = 1 2 + 1 = 2 . Daí a área A 1 é:

A 1 = 1.2 = 2

Beleza? Agora a A 2 :

A 2 = Δ x . f ( 2 )

Mas f 2 = 2 2 + 1 = 5 , aí a área é

A 2 = 1.5 = 5

Por fim a soma das áreas:

A = A 1 + A 2 = 1 + 5 = 6

Beleza? E é isso! Isso é estimar a área pela soma de Riemann pela esquerda! É uma estimativa ‘por baixo’, estamos subestimando o valor dessa região

Tranquilo?

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

A = 6

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