Exercícios Resolvidos de Achar a Integral pela Soma de Riemann

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Enunciado

Use a soma de Riemann centrado no ponto médio para achar as aproximações da integral

b)

∫ 0 1 2 x d x

n = 10

Passo 1

Lindezas dessa Terra, se você viu a letra A , estou te trazendo a letra B aumentando o número de partições do intervalo! Mas fique calmo, porque vai perceber que nada mudou, estamos só alterando um valor!

Veja que já sabemos que a Soma de Riemann é uma forma de aproximar ao valor da integral:

∫ 0 1 2 x d x = lim n → ∞ ⁡ S n

Mas ao invés de n se aproximar de infinito, vamos usar o valor igual a 10 :

n = 10

Pelo fato de termos que usar a Soma de Riemann centrada no ponto médio, temos que usar a fórmula específica de somatório:

S n = f x 1 m ⋅ ∆ x + f x 2 m ⋅ ∆ x + … + f x i m ⋅ ∆ x

Onde

∆ x = b - a n

x i m = a + i ⋅ ∆ x - ∆ x 2

i   v a r i a   d e   1   a t é   10

Parece complicado? Não se preocupa que tudo vai ficar claro ao longo do nosso exercício!

Passo 2

Vamos começar separando cada um dos dados, já sabemos desde o enunciado que:

n = 10

Pela integral, os extremos do intervalo são:

b = 1

a = 0

Concorda comigo que já podemos calcular o valor de ∆ x :

∆ x = b - a n

Aplicando nossos valores:

∆ x = b - a n = 1 - 0 10 = 0 , 1

Quando aumentamos o valor de partições, o valor do ∆ x diminui!

E podemos calcular o valor de sua metade:

∆ x 2 = 0 , 1 2 = 0 , 0 5

x i m = a + i ⋅ ∆ x - ∆ x 2

Variando o valor de i de 1 até 10 :

x 1 m = 0 + 1 ⋅ 0 , 1 - 0 , 05 = 0,05

x 2 m = 0 + 2 ⋅ 0,1 - 0,05 = 0 , 1 5

x 3 m = 0 + 3 ⋅ 0,1 - 0,05 = 0 , 2 5

x 4 m = 0 + 4 ⋅ 0,1 - 0,05 = 0 , 3 5

x 5 m = 0 + 5 ⋅ 0,1 - 0,05 = 0 , 4 5

x 6 m = 0 + 6 ⋅ 0,1 - 0,05 = 0 , 5 5

x 7 m = 0 + 7 ⋅ 0,1 - 0,05 = 0 , 6 5

x 8 m = 0 + 8 ⋅ 0,1 - 0,05 = 0 , 7 5

x 9 m = 0 + 9 ⋅ 0,1 - 0,05 = 0 , 8 5

x 10 m = 0 + 1 0 ⋅ 0,1 - 0,05 = 0 , 9 5

Passo 3

Agora vamos arregaçar as mangas para verificar os valores que a função assume em cada ponto de interesse. Usando a expressão dada na integral:

∫ 0 1 2 x d x → f x i m = 2 x i m

Aplicando cada um de nossos valores de x i :

f x 1 m = 2 x 1 m → f 0 , 0 5 = 2 0,05

f 0 , 0 5 = 1,035

f x 2 m = 2 x 2 m → f 0 , 1 5 = 2 0 , 1 5

f 0 , 1 5 = 1,110

f x 3 m = 2 x 3 m → f 0 , 2 5 = 2 0 , 2 5

f 0 , 2 5 = 1 , 189

f x 4 m = 2 x 4 m → f 0 , 3 5 = 2 0 , 3 5

f 0 , 3 5 = 1 , 275

f x 5 m = 2 x 5 m → f 0 , 4 5 = 2 0 , 4 5

f 0 , 4 5 = 1 , 366

f x 6 m = 2 x 6 m → f 0 , 5 5 = 2 0 , 5 5

f 0 , 5 5 = 1 , 464

f x 7 m = 2 x 7 m → f 0 , 6 5 = 2 0 , 6 5

f 0 , 6 5 = 1 , 569

f x 8 m = 2 x 8 m → f 0 , 7 5 = 2 0 , 7 5

f 0 , 7 5 = 1 , 682

f x 9 m = 2 x 9 m → f 0 , 8 5 = 2 0 , 8 5

f 0 , 8 5 = 1 , 803

f x 10 m = 2 x 10 m → f 0 , 9 5 = 2 0 , 9 5

f 0 , 9 5 = 1 , 932

Passo 4

A fórmula do somatório para a Soma de Riemann centrado no ponto médio é:

S n = f x 1 m ⋅ ∆ x + f x 2 m ⋅ ∆ x + … + f x 4 m ⋅ ∆ x

Aplicando para o nosso caso em que temos 10 intervalos:

S n = f x 1 m ⋅ ∆ x + f x 2 m ⋅ ∆ x + f x 3 m ⋅ ∆ x + f x 4 m ⋅ ∆ x + f x 5 m ⋅ ∆ x + f x 6 m ⋅ ∆ x + f x 7 m ⋅ ∆ x + f x 8 m ⋅ ∆ x + f x 9 m ⋅ ∆ x + f x 10 m ⋅ ∆ x

Relembrando nossos valores que levantamos até aqui:

∆ x = 0 , 1

f x 1 m = 1,035

f x 2 m = 1,110

f x 3 m = 1,189

f x 4 m = 1,275

f x 5 m = 1,366

f x 6 m = 1,464

f x 7 m = 1,569

f x 8 m = 1,682

f x 9 m = 1,803

f x 10 m = 1,932

Aplicando em nosso somatório:

S n = [ 1,035 ⋅ 0 , 1 ] + [ 1,110 ⋅ 0,1 ] + [ 1,189 ⋅ 0,1 ] + [ 1,275 ⋅ 0,1 ] + [ 1,366 ⋅ 0,1 ] + [ 1,464 ⋅ 0,1 ] + [ 1,569 ⋅ 0,1 ] + [ 1,682 ⋅ 0,1 ] + [ 1,803 ⋅ 0,1 ] + [ 1,932 ⋅ 0,1 ]

Vamos calcular esses produtos:

S n = 0,1035 + 0,1110 + 0,1189 + 0,1275 + 0,1366 + 0,1464 + 0,1569 + 0,1682 + 0,1803 + 0,1932

Finalizando a soma:

S n = 1,443

Então encontramos a aproximação da integral pela Soma de Riemann centrado no ponto médio:

∫ 0 1 2 x d x ≈ S n = 1,443

Já senti que você está craque demais em Soma de Riemann centrada no ponto médio!

Resposta

∫ 0 1 2 x d x ≈ 1,443

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