Exercícios Resolvidos de Achar a Integral pela Soma de Riemann

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Enunciado

Em cada item são dados um intervalo [a,b] e uma função f : a , b → R . Determine E n e D n , respectivamente, as somas de Riemann com n subintervalos (de mesmo tamanho) para f no intervalo [a,b], sendo E n com pontos amostrais nas extremidades esquerdas dos subintervalos e D n com pontos amostrais nas extremidades direitas dos subintervalos.

a , b = [ 2,5 ] e f x = x 4 - 2 x

Passo 1

Vamos precisar calcular nosso E n   e D n que são as somas de Riemann. E como bem sabemos essa soma é dada pela equação:

S n = ∑ x = i n f ( x ) × Δ x

Vamos iniciar fazendo o nosso intervalo Δ x com n subdivisões:

Δ x = 5 - 2 n = 3 n

Fazendo n = 3 , temos Δ x = 1 , logo os subintervalos serão:

2,3 ,   3,4 ,   [ 4,5 ]

Passo 2

Fazendo então a soma de Riemann para os extremos esquerdos e extremos direitos, temos:

E n = 2 4 - 2 × 2 1 + 3 4 - 2 × 3 ( 1 ) + 4 4 - 2 × 4 ( 1 )

E n = 12 + 75 + 248 = 335

Fazendo com o extremo direito, temos:

D n = 3 4 - 2 × 3 1 + 4 4 - 2 × 3 ( 1 ) + 5 4 - 2 × 5 ( 1 )

D n = 75 + 250 + 615 = 940

Resposta

D n = 940

E n = 335

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