7. (D) Uma barra isolante e fina de comprimento 2 a é posicionada sobre o eixo X de um sistema de coordenadas, de modo que suas extremidades estão em x = ± a . Ela possui uma carga total Q uniformemente distribuída sobre seu comprimento.

(a) Determine o campo elétrico (módulo, direção e sentido) produzido pela barra em um ponto P sobre o eixo X , localizado a uma distância x > a da origem.

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema temos uma barra com densidade de carga constante, de comprimento 2 a , carga total Q e sob o eixo x . A partir dessa descrição, temos que obter o campo elétrico em um ponto sobre o eixo x situado a x > a .

Desenhando o problema, temos

Para resolver esse problema, vamos dividir o comprimento da barra em tamanhos infinitesimais d l . Assim, se o campo elétrico a partir de uma carga é dada por

E = q 4 π ϵ 0 r 2

Para cada valor infinitesimal da barra, temos uma contribuição d E a partir de uma carga d Q , ou seja

d E = d Q 4 π ϵ 0 r 2

A partir daqui podemos resolver essa equação e encontrar um valor para o campo elétrico no ponto P .

Bora lá! 😉

Passo 2

Foi dito que a densidade linear de carga da barra é constante, ou seja

λ = d Q d l → d Q = λ d l

Substituindo d Q na equação d E fazendo r = l , temos

d E = λ d r 4 π ϵ 0 r 2

Integrando nos dois lados da igualdade, chegamos em

∫ d E = ∫ λ d r 4 π ϵ 0 r 2

E = λ 4 π ϵ 0 ∫ 1 r 2 d r

Considerando que o ponto P está a uma distância d da barra, podemos integrar r de d até 2 a + d , ou seja

E = λ 4 π ϵ 0 ∫ d 2 a + d 1 r 2 d r

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Integrando 1 / r 2 , chegamos em

E = λ 4 π ϵ 0 - 1 r d 2 a + d

E = λ 4 π ϵ 0 - 1 2 a + d + 1 d

E = λ 4 π ϵ 0 2 a d 2 a + d

E = 2 a λ 4 π ϵ 0 d 2 a + d

Podemos escrever a densidade linear de cargas da barra como

λ = Q 2 a

Substituindo em E

E = 2 a Q 2 a 4 π ϵ 0 d 2 a + d

E = Q 4 π ϵ 0 d 2 a + d

O campo elétrico aponta na direção de l , ou seja, em i →

E → = Q 4 π ϵ 0 d 2 a + d i →

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

E → = Q 4 π ϵ 0 d 2 a + d i →

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