Questão 1 - Cinco cargas pontuais 1.00 e , 2.00 e , 3.00 e , 4.00 e , e 5.00 e são colocadas em sequência nos vértices de um pentágono de aresta 2.00   c m . Qual o módulo do campo elétrico no centro deste pentágono?

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema, nosso objetivo é calcular o campo elétrico gerado por 5 cargas pontuais dispostas nos vértices de um pentágono de 2 c m de aresta.

As cargas pontuais possuem uma sequência de 1.00 e , 2.00 e , 3.00 e , 4.00 e , e 5.00 e .

Tem ideia do que temos que fazer? 🤔

A primeira coisa é descobrir a distância R de cada vértice até o centro do pentágono.

A partir daí aplicamos a fórmula do campo elétrico para cada carga e no fim fazemos o somatório dos campos.

A fórmula campo elétrico gerado por uma carga é dado por

E = k Q R 2

Em que k = 8,99 · 10 9 N m 2 / C ² e e = 1,6 · 10 - 19 C .

Entendeu? Bora começar! 😁

Passo 2

Vamos obter o valor da distância dos vértices até o centro. Pra isso, sabemos que um pentágono possui 5 vértices. Se a distância de cada vértice ao centro do pentágono é R , cada triângulo que é formado por dois raios e a aresta é dado por

θ ' = 360 ° 5 = 72 °

Cortando um desses triângulos ao meio, formando dois triângulos retângulos temos que cada ângulo é dado por

θ ' ' = 72 ° 2 = 36 °

Assim temos que se a aresta do pentágono é 2 c m , então cada triangulo retângulo terá como cateto 1 c m , veja só

Se aplicarmos a lei do seno para esse triangulo retângulo, temos que

s e n 36 ° = C O H = 1 R

Isolando R ...

R = 1 s e n 36 °

R ≅ 1,7 c m ≅ 0,017 m

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Agora, calculamos cada campo sabendo que o campo gerado por uma carga aponta para o mesmo sentido do raio R .

Se Q 1 = 1.00 e , Q 2 = 2.00 e , Q 3 = 3.00 e , Q 4 = 4.00 e , e Q 5 = 5.00 e , então

Bora lá!

E = k Q R 2

E 1 = 8,99 · 10 9 · 1 · 1,6 · 10 - 19 0,017 2 ≅ 4,98 · 10 - 6   N / C

E 2 = 8,99 · 10 9 · 2 · 1,6 · 10 - 19 0,017 2 ≅ 9,95 · 10 - 6   N / C

E 3 = 8,99 · 10 9 · 3 · 1,6 · 10 - 19 0,017 2 ≅ 1,49 · 10 - 5   N / C

E 4 = 8,99 · 10 9 · 4 · 1,6 · 10 - 19 0,017 2 ≅ 1,99 · 10 - 5   N / C

E 5 = 8,99 · 10 9 · 5 · 1,6 · 10 - 19 0,017 2 ≅ 2,49 · 10 - 5   N / C

Com o modulo dos campos obtidos, vamos obter os vetores resultantes das componentes nos eixos x e y .

Entendeu essa parte? 😎

Passo 4

Agora analisando os vetores dos campos, temos

Para o eixo x , temos que E 1 faz um ângulo de θ 1 = - 9 0 °

Para E 2 , se o ângulo de x a E 1 é - 90 ° e o ângulo entre E 1 e E 2 é 72 ° , então

θ 2 = - 90 ° - 72 ° = - 162 °

Para E 3 , podemos ver que o ângulo é 90 ° + θ ' ' , ou seja

θ 3 = 90 ° + 36 ° = 126 °

Para E 4 , o ângulo entre ele e o eixo y é 36 ° , logo

θ 4 = 90 ° - 36 ° = 54 °

E por fim, para E 5 , se E 1 faz - 90 ° com x e de E 1 para E 2 tem 72 ° , então

θ 5 = 72 ° - 90 ° = - 18 °

Logo, pela regra dos cossenos, o vetor resultante em x é

E x = E 1 · cos ⁡ θ 1 + E 2 · cos ⁡ θ 2 + E 3 · cos ⁡ θ 3 + E 4 · cos ⁡ θ 4 + E 5 · cos ⁡ θ 5

E x = 4,98 · 10 - 6 · cos ⁡ - 90 + 9,95 · 10 - 6 · cos ⁡ - 162 ° + 1,49 · 10 - 5 · cos ⁡ 126 ° + 1,99 · 10 - 5 · cos ⁡ 54 ° + 2,49 · 10 - 5 · cos ⁡ - 18 °

E x = 1,71 · 10 - 5   N / C

Bacana, não é? 👀

Passo 5

Agora, para o eixo y , vamos aplicar a lei dos senos com os ângulos que encontramos.

E y = E 1 · sen ⁡ θ 1 + E 2 · sen ⁡ θ 2 + E 3 · sen ⁡ θ 3 + E 4 · sen ⁡ θ 4 + E 5 · sen ⁡ θ 5

E y = 4,98 · 10 - 6 · sen ⁡ - 90 + 9,95 · 10 - 6 · sen ⁡ - 162 ° + 1,49 · 10 - 5 · sen ⁡ 126 ° + 1,99 · 10 - 5 · sen ⁡ 54 ° + 2,49 · 10 - 5 · sen ⁡ - 18 °

E y = 1,24 · 10 - 5   N / C

Assim, vamos obter o módulo do campo elétrico resultante obtendo o modulo dos vetores E x e E y .

E = E x 2 + E y 2

E = 1,71 · 10 - 5 2 + 1,24 · 10 - 5 2

E = 2,11 · 10 - 5   N / C

Portanto, vimos que o modulo do campo elétrico resultante no centro do pentágono é 2,11 · 10 - 5   N / C ! Legal, né?

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

E = 2,11 · 10 - 5   N / C

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