3.3) Uma bobina A de N A espiras, raio r A , resistência R, e comprimento L é coaxial com

outra bobina B de mesmo comprimento L , mas com N B espiras e raio r B < r A . Através da

bobina B passa uma corrente que varia com o tempo como i B t = i 0 t 4 . Calcule:

(a) A corrente induzida na bobina A em um instante t 0 .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Esse problema é bem louco, temos um solenoide B dentro de outro solenoide A que possui uma resistência R e no solenoide interno flui uma corrente i B t = i 0 t 4 e nosso objetivo é obter a corrente que passa pelo solenoide maior A .

Tem alguma ideia do que fazer? 🤔🤔

Foi dito que o solenoide maior A possui uma resistência R , então podemos aplicar a lei de Ohm V = R i para obter a corrente.

Porém, não temos a tensão, mas podemos encontrar a partir da lei de Faraday

F e m = - d λ d t

Sacou? Bora começar! 😊

Passo 2

Temos que obter uma relação entre o fluxo λ e a corrente i B para derivar com relação a t .

Sabemos que λ = B A onde B é o campo magnético e A a área do fluxo. Substituindo em F e m

F e m = - d B A d t

Podemos definir a área A como a área circular que engloba o solenoide B de raio r B . Sabemos que a área de um círculo é dado por

A = π r 2

Como r = r B no caso, então

F e m = - d B π r B 2 d t

Já aqui, podemos relacionar B com I B através da lei de Biot-Savart para solenoides que diz

B = ∫ i μ 0 4 π · d l × r r 2

Ou simplesmente

B = μ 0 N i L = μ 0 N B i B L

Como o solenoide B está dentro do solenoide A , multiplicamos o campo B pelo número de espiras em A

B = N A μ 0 N B i B L

Substituindo em F e m

F e m = - d N A μ 0 N B i B L π r B 2 d t

F e m = - d π μ 0 N A N B i B r B 2 L d t

Tranquilo até aqui? 😎

Passo 3

Substituindo i B por i 0 t 4 e derivando com relação a t

F e m = - d π μ 0 N A N B i 0 t 4 r B 2 L d t

F e m = - π μ 0 N A N B i 0 r B 2 L d t 4 d t

Pelo método de derivação polinomial...

F e m = - π μ 0 N A N B i 0 r B 2 L 4 t 3

F e m = - 4 π μ 0 N A N B i 0 r B 2 t 3 L

Ao aplicar a lei de Ohm para obter a corrente i A , podemos desconsiderar o sinal negativo pois ele apenas serve para nos dizer a polarização inversa da tensão.

Como F e m = V , pela lei de Ohm, temos

V = R i → i = V R → i = F e m R

i A t = 4 π μ 0 N A N B i 0 r B 2 t 3 L R

i A t = 4 π μ 0 N A N B i 0 r B 2 t 3 L R

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

i A t = 4 π μ 0 N A N B i 0 r B 2 t 3 L R

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