O campo magnético em todos os pontos de uma região cilíndrica de raio R é uniforme e direcionada para fora da página, variando com o tempo B = k t , onde k é uma constante positiva.

a ) Determine a circulação do campo elétrico, ∫ C E → ⋅ d l → , ao longo dos círculos de r < R e r > R percorrido no sentido horário.

Passo 1

Eaew, tudo certinho com você?

O enunciado nos indica uma região cilíndrica de raio R dada por

e precisamos calcular a circulação do campo elétrico ao longo dos círculos de raio r < R e r > R . Esse campo elétrico surge devido a variação do fluxo do seguinte campo magnético

B = k t

que aponta para fora da tela, através da superfície circular delimitada pelo cilindro. Para calcular então a circulação vamos usar a lei de Faraday-Lenz

∮ C E → ⋅ d l → = - ∂ [ ϕ ( B ) ] ∂ t

Sendo assim! Podemos começar calculando o fluxo de nosso campo magnético! Vamos lá!

Passo 2

Temos que ϕ [ B ] é o fluxo do campo magnético, que pode ser calculado usando a seguinte integral de superfície

ϕ [ B ] = ∫ ∫ S B → ⋅ d A → = B ∫ ∫ S d A

A última igualdade é verdade, pois o campo é uniforme para todo raio. Desta forma, temos que a nossa integral se reduz à

B ∫ ∫ S d A = B ∫ 0 2 π ∫ 0 r r d r d θ

Se r < R . Vamos resolver cada uma das integrações! Vem comigo!

Passo 3

Usando a regra dos polinômios para integrações, temos que

∫ 0 r r d r = 1 1 + 1 r 1 + 1 | 0 r = 1 2 r 2 | 0 r

ou, avaliando os limites de integração, temos que

∫ 0 r r d r = 1 2 r 2

Usando o resultado em nossa integral de fluxo, temos que

B ∫ 0 2 π ∫ 0 r r d r d θ = B ∫ 0 2 π 1 2 r 2 d θ = 1 2 B r 2 ∫ 0 2 π d θ

A integral que falta pode ser identificada diretamente como

∫ 0 2 π d θ = θ | 0 2 π = 2 π

Portanto, o nosso fluxo é

ϕ [ B ] = 1 2 r 2 [ 2 π ] B = π r 2 B

Vamos usar isso para calcular a nossa circulação! Vem comigo!

Passo 4

Queremos então calcular

∮ C E → ⋅ d l → = - ∂ ∂ t [ ϕ [ B ] ] = - π k r 2 ∂ ∂ t [ t ]

Usando a regra do tombo, temos que

∂ ∂ t [ t ] = ( 1 ) t 1 - 1 = 1

E, finalmente, obtemos nossa circulação como

∮ C E → ⋅ d l → = - π k r 2 ∂ ∂ t [ t ] = - π k r 2

Vamos agora calcular para um r > R , saca só!

Passo 5

A única diferença que temos é mudança dos limites de integração em nossa integral de superfície, como a região pela qual estamos considerando o fluxo acaba, os limites se tornam

ϕ [ B ] = B ∫ 0 2 π ∫ o R d A = B ∫ 0 2 π ∫ o R r d r d θ

As integrais nós já resolvemos nos passos anteriores, obtemos então que

ϕ [ B ] = π R 2 B

e, a circulação será

∮ C E → ⋅ d l → = - π k R 2 ∂ ∂ t [ t ] = - π k R 2

da mesma forma que fizemos anteriormente! A primeira alternativa foi isso! Te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

Para r < R temos ∮ C E → ⋅ d l → = - π k r 2 e para r > R temos ∮ C E → ⋅ d l → = - π k R 2

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