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Exercícios Resolvidos de Campo Elétrico Gerado por uma Carga Pontual

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Enunciado

Uma carga + q e outra + 4 q se encontram separadas por uma distância d . Considere um eixo de coordenadas x ao longo da linha que une as duas cargas, com origem na carga + q e crescendo na direção da carga + 4 q , veja a figura abaixo. Em que posição do eixo x o campo elétrico é nulo?

(a) - d / 2 .

(b) d / 3 .

(c) d / 2 .

(d) 2 d / 3 .

(e) 4 d / 3 .

Passo 1

Pra começar, vamos tentar entender onde estaria essa posição x ^ com campo elétrico nulo: antes da primeira carga, entre as duas cargas ou depois da segunda carga.

Sabemos que a expressão para o cálculo do campo elétrico, certo? Temos:

E → = 1 4 π ϵ 0 q r 2 r ^ .

Agora, pensa comigo:

  1. Precisamos somar o campo elétrico produzido por cada uma das cargas;
  2. Essa soma precisa ser nula;
  3. Como temos duas cargas positivas, o vetor  r ^ de uma carga é oposto ao da outra;
  4. Isso significa que x ^ está entre as cargas, como na figura abaixo.

Beleza até aqui?

Passo 2

Agora, vamos calcular os campos E 1 → e E 2 → produzidos pelas cargas 1 e 2 , respectivamente.

Temos:

E 1 → = 1 4 π ϵ 0 q x ^ 2 i ^ ,

E 2 → = 1 4 π ϵ 0 4 q d - x ^ 2 - i ^ ,

Passo 3

Calculando o campo elétrico total E → em x = x ^ :

E → = E 1 → + E 2 → ,

E → = 1 4 π ϵ 0 q x ^ 2 i ^ - 1 4 π ϵ 0 4 q d - x ^ 2 - i ^ ,

E → = q 4 π ϵ 0 1 x ^ 2 - 4 d - x ^ 2   i ^ .

Passo 4

Para que o campo E → seja nulo, precisamos que:

1 x ^ 2 - 4 d - x ^ 2 = 0 ,

4 x ^ 2 = d - x ^ 2 ,

2 x ^ = d - x ^ ,

x ^ = d 3 .

Resposta

O campo elétrico é nulo na posição

(b) d / 3 .

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