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Exercícios Resolvidos de Campo Elétrico Gerado por uma Carga Pontual

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Enunciado

Uma carga elétrica pontual - q encontra-se na origem de um sistema de coordenadas. A uma distância L à sua esquerda encontra-se uma carga elétrica pontual + 8 q , conforme ilustrado na figura 1.

Para tal situação:

a Calcule o módulo do campo elétrico gerado em um ponto localizado ao longo do eixo x , para x > 0 .

b Determine o ponto x n u l o sobre o eixo x onde o campo elétrico se anula.

c Determine o ponto x m a x sobre o eixo x , onde x > 0 , no qual o campo elétrico atinge seu valor máximo.

d Esboce o gráfico do campo elétrico para pontos ao longo do eixo x , para x > 0 .

Passo 1

a Calcule o módulo do campo elétrico gerado em um ponto localizado ao longo do eixo x , para x > 0 .

O campo elétrico gerado por uma carga pontual é dado por:

E → = k q r 2 r ^ = q 4 π ϵ 0 r 2 r ^

O campo elétrico resultante em um ponto qualquer é igual à soma vetorial dos campos gerados por cada carga.

Nesse caso, para um ponto qualquer x , onde x > 0 , o campo elétrico será dado por:

E x = - q 4 π ϵ 0 x 2 + 8 q 4 π ϵ 0 L + x 2

E x = q 4 π ϵ 0 8 L + x 2 - 1 x 2

Passo 2

b Determine o ponto x n u l o sobre o eixo x onde o campo elétrico se anula.

Utilizando a expressão do campo elétrico que encontramos acima, temos:

E x = 0

q 4 π ϵ 0 8 L + x 2 - 1 x 2 = 0

Agora é só ir organizando esse cara até encontrarmos a expressão de x :

8 L + x 2 - 1 x 2 = 0

8 L + x 2 = 1 x 2

8 x 2 = L + x 2

8 x = L + x

2 2 x - x = L

x 2 2 - 1 = L

Finalmente:

x n u l o = L 2 2 - 1

Passo 3

c Determine o ponto x m a x sobre o eixo x , onde x > 0 , no qual o campo elétrico atinge seu valor máximo.

O campo magnético será máximo quando:

d E d x = 0

Logo:

d E d x = d d x q 4 π ϵ 0 8 L + x 2 - 1 x 2

d E d x = q 4 π ϵ 0 - 2 × 8 L + x 3 + 2 x 3 = 0

- 16 L + x 3 + 2 x 3 = 0

2 x 3 = 16 L + x 3

2 L + x 3 = 16 x 3

L + x 3 = 8 x 3

L + x = 2 x

Finalmente:

x m á x = L

Passo 4

d Esboce o gráfico do campo elétrico para pontos ao longo do eixo x , para x > 0 .

Para montar o gráfico, precisamos ficar espertos para alguns detalhes. A equação do campo elétrico é dada por:

E x = q 4 π ϵ 0 8 L + x 2 - 1 x 2

O ponto nulo é dado por:

x n u l o = L 2 2 - 1 ≅ 0,547   L < L = x m á x

x n u l o < x m á x

Além disso, podemos testar alguns limites pra ter uma ideia melhor do gráfico:

lim x → 0 + ⁡ E x = lim x → 0 + ⁡ q 4 π ϵ 0 8 L + x 2 - 1 x 2

lim x → 0 + ⁡ E x = - ∞

lim x → + ∞ ⁡ E x = lim x → + ∞ ⁡ q 4 π ϵ 0 8 L + x 2 - 1 x 2

lim x → + ∞ ⁡ E x = 0

Dessa forma, o gráfico vai ter mais ou menos essa forma:

Resposta

a

E x = q 4 π ϵ 0 8 L + x 2 - 1 x 2

b

x n u l o = L 2 2 - 1

c

x m á x = L

d

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