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Exercícios Resolvidos de Campo Elétrico Gerado por uma Carga Pontual

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Enunciado

Uma esfera condutora de raio R está carregada com uma carga Q . O centro da esfera está na origem. Considerando V ∞ = 0 e k 0 = 1 4 π ϵ 0 , temos que a densidade superficial de carga, o campo elétrico e o potencial para r > R e o campo elétrico e o potencial elétrico para r < R   valem, respectivamente:

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Vou ajudar você a resolver essa questão! Vamos lá?

A densidade superficial de cargas é a razão entre a carga total e a área da superfície na qual ela está distribuída. Sendo assim, considerando uma esfera condutora de raio R a densidade superficial σ é:

σ = Q A = Q 4 π R 2

Passo 2

Na região r > R podemos considerar que toda carga está concentrada no centro dessa esfera. Sendo assim o campo elétrico vale:

E → = k 0 Q r 2 r ^

E sabemos que o campo é a derivada do potencial em relação à r :

E = - d V d r

Integrando de até o ponto r temos:

∫ ∞ r k 0 Q r 2   d r = - ∫ ∞ r d V

V r - V ∞ = - - k 0 Q r

V r = k 0 Q r

Passo 3

E por fim a região r < R :

Como a carga está distribuída na superfície, não temos cargas nessa região e, portanto o campo elétrico no interior dessa esfera é nulo:

E → = 0

Já o potencia vai ser constante dentro desse condutor, influenciado pelas cargas que estão na superfície dessa esfera:

V r = k 0 Q R

Beleza?

Pronto pra próxima questão? =)

Resposta

σ = Q 4 π R 2

E → = k 0 Q r 2 r ^ ; V r = k 0 Q r

E → = 0 ;   V r = k 0 Q R

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