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Exercícios Resolvidos de Campo Elétrico Gerado por uma Carga Pontual

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Enunciado

Duas cargas são colocadas como indica a Figura abaixo. O módulo da carga q 1 é 3,0   μ C , porém não conhecemos seu sinal e nem o valor da carga q 2 . O campo elétrico resultante   E → no ponto P aponta para o sentido negativo do eixo O y .

  1. Dados a direção e o sentido de  E → , determine os sinais das cargas q 1 e q 2 ;
  2. Determine o valor do módulo da carga q 2   ;
  3. Calcule o módulo do campo elétrico E → .

Passo 1

a) É importante que a gente se lembre de que o campo elétrico produzido por cargas positivas é um campo de afastamento e que campos gerados por cargas negativas são campo de aproximação. Ou seja, o campo produzido pela carga positiva tem um vetor que se afasta da carga, enquanto para a negativa, o campo que ela cria tem um vetor que se aproxima dela.

No caso colocado no exercício, como   E → representa vetor campo elétrico resultante no ponto P devido às cargas q 1 e q 2 , então, essas cargas só podem ser negativas. Se qualquer uma dessas cargas for positiva, ou ambas positivas, a direção e/ou o sentido do campo resultante   E → será diferente do que está na Figura acima. Portanto, devemos ter que

q 1 < 0     e     q 2 < 0   ,

como está representado na Figura, com os respectivos campos produzidos no ponto P .

Passo 2

b) Agora, como o campo elétrico resultante   E → tem apenas componente na direção y , podemos escrever, considerando a geometria lá da Figura, para as direções x e y :

x :   E → 1 cos ⁡ θ 1 = E → 2 cos ⁡ ( θ 2 )     ;

y :     E → = E → 1 s e n θ 1 + E → 2 s e n θ 2   .

Uma relação que ajuda a gente bastante aqui vem de notar que, como temos um triângulo retângulo, vale que

θ 1 + θ 2 = π 2   ⇒   θ 1 = π 2 - θ 2   ,

que dá o seguinte

cos ⁡ θ 1 = cos ⁡ π 2 - θ 2 = s e n θ 2   .

Substituindo essa relação trigonométrica que encontramos lá na expressão da direção x , chegamos a

x :     E → 2 = E → 1 tan ⁡ θ 2   .

Dessa expressão, podemos encontrar o valor de | E → 1 | , pois temos os valores da carga q 1 e da distância d 1 dessa carga até o ponto P . Como queremos obter o valor da carga negativa q 2 e o valor de d 2 e θ 2 são conhecidos, podemos expressar | q 2 | como:

E → 2 = | q 2 | 4 π ε 0 d 2 2 = | q 1 | 4 π ε 0 d 1 2 tan ⁡ θ 2 ⇒ | q 2 | = d 2 2 tan ⁡ θ 2 d 1 2 | q 1 |   .

Da Figura, a gente vê que tan ⁡ θ 2 = 5 / 12 . Substituindo esse valor e tomando os valores dados no enunciado, temos

q 2 = - 7,2   μ C   .

Passo 3

c) Substituindo

E → 2 = E → 1 tan ⁡ ( θ 2 )

na expressão que a gente obteve para a direção y , obtemos que | E → | é dado por

E → = E → 1 s e n θ 1 + s e n θ 2 tan ⁡ θ 2     .

Como θ 1 = π 2 - θ 2 , temos que s e n θ 1 = cos ⁡ ( θ 2 ) . Substituindo na expressão acima

E → = E → 1 cos ⁡ θ 2 + s e n 2 θ 2 cos ⁡ θ 2   ⇒ E → = E → 1 cos ⁡ θ 2   .

Colocando os valores dados no exercício, temos

E → ≈ 1,17   ×   10 7 N C     .

Resposta

  1. q 1 < 0     e     q 2 < 0   ;  
  2. q 2 = - 7,2   μ C   ;
  3. E → ≈ 1,17   ×   10 7 N C   .

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