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Exercícios Resolvidos de Campo Elétrico Gerado por uma Carga Pontual

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Enunciado

Na figura abaixo, duas cargas pontuais + q estão separadas por um distância 2 a . Uma terceira carga pontual + Q é colocada na linha que passa pelo centro do segmento que conecta as cargas + q . Sabe-se que a carga + Q está fixa e que se localiza a uma distância y , perpendicular ao segmento horizontal de comprimento 2 a .

  1. Calcule o vetor força elétrica total (módulo, direção e sentido) que as cargas + q exercem na carga + Q .
  2. Calcule para que valor da distância y o módulo da força total na carga + Q é máxima.
  3. Esboce um gráfico representando como o módulo da força total varia com a distância y , onde 0 ≤ y < + ∞ .

Passo 1

a) A primeira coisa que precisamos nos lembrar aqui é que duas cargas puntiformes quaisquer de mesmo sinal se repelem. Nessa questão, temos três cargas positivas e queremos analisar como é a força resultante  F → R que atua na carga + Q .

Para ficar fácil de ver isso, desenhamos, na figura abaixo, as duas forças F → , devidas às cargas + q e se afastando delas, que atuam sobre + Q , já que temos apenas forças de repulsão. As forças   F → fazem um ângulo θ com o eixo y e um ângulo de 90 ˚ - θ com a direção x .

Ainda de olho na figura (sempre ajuda a gente ter uma figura para ver bem como ficam os vetores e as distâncias... ;-) ), vemos que as duas cargas + q estão à mesma distância r = a 2 + y 2 de + Q . Além disso, como as cargas + q têm o mesmo módulo, então as componentes das forças  F → na direção x terão mesmo módulo, mesma direção, PORÉM sentidos contrários e, por isso, vão se cancelar. Vamos ter que concentrar agora apenas na direção y , que é para onde vai apontar a força resultante   F → R , beleza?

Quando somamos as componentes das forças  F → na direção y , vamos encontrar  F → R . Fazendo isso, encontramos que:

F → R = 2 F → cos ⁡ θ   ( + y ^ ) .  

Bom, sabemos também que o módulo | F → | é dado por

F → = 1 4 π ε 0 Q q r 2 = 1 4 π ε 0 Q q a 2 + y 2   ,

e que, do triângulo retângulo da figura acima, temos

c o s θ = y r = y a 2 + y 2   .

Isso vai resultar num vetor força resultante dado por:

F → T = 2 Q q y 4 π ε 0 a 2 + y 2 3 2   + y ^ ,

que mostra que, para y = 0 , temos   F → T = 0 .

A gente pode reescrever esse vetor como:

F → T = 2 Q q 4 π ε 0 y 2 1 + a 2 / y 2   3 2   + y ^ ,

o que facilita para percebermos que para y → + ∞ , temos também   F → T = 0 . Se para y → 0 e y → + ∞ temos   F → T = 0 , então, como temos uma força que é uma função positiva de y . Por isso, ela vai ter um valor máximo, que a gente vai estudar melhor nos próximos itens.

Passo 2

b) Como temos força resultante positiva que é uma função de y , para encontrarmos o valor de y que maximiza essa função, temos que derivar com relação à variável y e igualar o resultado a zero, ou seja,

d d y   2 Q q y 4 π ε 0 a 2 + y 2 3 2 = Q q 2 π ε 0 d d y y a 2 + y 2 3 2 = 0   .

Desenvolvendo um pouco mais essa derivada, vamos ter que

1 y 2 + a 2 3 2 - 3 2 y 2 y y 2 + a 2 5 2 = 0   ⇒   y 2 + a 2 - 3 y 2 = 0   .

Resolvendo essa equação, vamos ter que y = ± a / 2 . Como colocamos a carga + Q está acima do eixo x , vamos tomar apenas a solução:

y = a 2   ,

que dá o valor máximo para a força resultante   F → R .

Passo 3

d) Como discutimos no Passo 1, a função força resultante vai ter um valor máximo e esse valor vai acontecer para y = a / 2 , como acabamos de calcular. Por isso, o gráfico do comportamento do módulo de   F → R será:

Eu sei! Você provavelmente se emocionou com a qualidade artística do meu gráfico ;)

Resposta

  1. F → T = 2 Q q y 4 π ε 0 a 2 + y 2 3 2   + y ^   ;

y = a 2   ;

c)

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