Dois cilindros metálicos, concêntricos, infinitamente longos e de raios a e b ( a < b ) atuam como placas de um capacitor cilíndrico. Considerando que há vácuo entre as placas, e que as placas interna e externa possuem densidade linear de carga + λ e - λ , respectivamente, calcule:

a ) O módulo do campo elétrico a uma distância r do centro, para r < a ,   a < r < b e r > b .

Passo 1

Faaala galera, como vocês estão?

Nessa questão temos um capacitor formado por cilindros metálicos, que possuem o mesmo eixo, mas um deles é interno ao outro. O menor possui raio a e o maior possui raio b . Juntos, eles atuam como um capacitor cilíndrico, onde a placa interna tem densidade linear de carga + λ e o externo - λ .

Queremos calcular o campo elétrico em três regiões distintas:

- Regi��o interna à placa esférica interna ( r < a )

- Região entre as placas ( a < r < b )

- Região depois das placas ( r > b )

Massa! A ideia principal pra calcular o campo nessas regiões é usarmos a lei de Gauss:

∫ E → ⋅ d A → = q i n t ε 0

Vamo simbora!!

Passo 2

Bom, independente de termos r < a , ou a < r < b , ou ainda r > b , iremos traçar uma superfície Gaussiana cilíndrico. Pela simetria (pois os cilindros são infinitamente longos) do capacitor cilíndrico devemos ter o campo elétrico dependendo apenas da distância ao eixo dos cilindros.

Assim, traçamos uma superfície gaussiana cilíndrica com raio r e comprimento L .

Temos que o campo elétrico em toda essa superfície deve ser o mesmo, e então podemos considerá-lo constante e colocá-lo para fora da integral da lei de Gauss:

E → ⋅ ∫ d A → = q i n t ε 0

A integral de todos os elementos de área d A → nos dará a área total do cilindro. Além disso, o vetor área é paralelo ao campo elétrico na superfície lateral, mas nas tampas do cilindro esses vetores são perpendiculares.

Ou seja, nas tampas do cilindro gaussiano temos:

E → ⋅ d A → = 0

Assim, teremos:

E ⋅ 2 π r L = q i n t ε 0

onde 4 π r 2 é a área apenas da superfície lateral do cilindro.

Muito bom! Agora que chegamos nessa equação, vamos analisar as nossas possibilidades!

- Se estivermos na região r < a :

Então, estamos na região interior à placa esférica interna. Como toda a carga foi pra superfície, a carga nessa região interna vale:

q i n t = 0

Logo, vamos ter que:

E = 0 ,           r < a

Excelente!

Passo 3

- Se estivermos agora na região entre as duas placas esféricas, ou seja, a < r < b .

Então, a carga interna corresponde exatamente à carga na placa interna do nosso capacitor. Como falado no enunciado, na placa interna temos a densidade linear de cargas:

+ λ

Assim, como o cilindro gaussiano tem comprimento L , vale que:

q i n t = λ ⋅ L

Logo, substituindo na equação que havíamos encontrado anteriormente, vem:

E ⋅ 2 π r L = λ ⋅ L ε 0

Portanto:

E = λ 2 π r ε 0 ,             a < r < b

- Se estivermos na região fora do capacitor r > b :

Nessa região, a carga interna corresponde à soma das cargas na placa externa do capacitor e da placa interna. Assim:

q i n t =   + q + - q

= 0

Logo, temos:

E = 0 ,         r > b

Prontinho!! Assim finalizamos a nossa questão 😉

Obrigado pela atenção pessoal!!

Resposta

E = 0 ,     r < a E = λ 2 π r ε 0 ,             ,     a < r < b E = 0 ,     r > b

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