Calcule a integral de superfície ∫ ∫ S F → ⋅ N → d σ   para cada um dos campos de vetores F → e superfícies orientadas S indicadas abaixo. Em outras palavras, calcule o fluxo de F → através de S . Quando S é uma superfície fechada, admita que S está orientada pela normal exterior.

a )   F → x , y , z = x 2 y i → - 3 x y 2 j → + 4 y 2 k → e S é a parte do parabolóide z = 9 - x 2 - y 2 , com z ≥ 0 , orientada de modo que a normal no ponto ( 0,0 , 9 ) é k → ;

Passo 1

Faaaala pessoal, tudo bom com vocês?

Nessa questão precisamos calcular uma integral de superfície no caso vetorial.

Vocês lembram a receita do bolo pra calcular esse tipo de integral?

Hahaha! Então bora dar uma revisada nos passos!

Imagina que temos que calcular:

∫ ∫ S F → ⋅ N → d σ

1 )   Parametrizar a superfície S

ϕ ( u , v )

2 )   Escrever a função F → ( x , y , z ) como função da parametrização

F → ϕ u , v

3 )   Calcular o vetor normal à superfície, usando que:

N → =   ∂ ϕ ∂ u × ∂ ϕ ∂ v

4 )   Montar a integral:

∫ ∫ S F → ⋅ N → d σ = ∫ ∫ D F → ϕ u , v ⋅ ∂ ϕ ∂ u × ∂ ϕ ∂ v d u d v

5 )   Resolver como uma integral dupla normal!

Show de bola gente! Essa é a receitinha de bolo pra gente matar qualquer integral de superfície no caso vetorial.

Passo 2

Bom, no caso desse item temos a função vetorial:

  F → x , y , z = x 2 y i → - 3 x y 2 j → + 4 y 2 k →

E S é a parte do paraboloide z = 9 - x 2 - y 2 , com z ≥ 0 . Além disso, no ponto ( 0,0 , 9 ) a normal à S é k → (essa informação nos ajuda a saber a orientação da superfície).

Massa! De posse dessas informações vamos para a nossa receita de bolo 😊

1 )   Parametrizar a superfície S :

Bom, temos que S é parte do parabolóide:

z = 9 - x 2 - y 2

Podemos usar a própria parametrização explícita. Assim:

ϕ x , y = ( x , y ,   9 - x 2 - y 2 )

Não conseguimos definir os intervalos de variação de x e y usando essa parametrização, mas não tem problema, podemos seguir sem definir isso por enquanto e mais pra frente fazemos uma mudança de variáveis 😊.

2 )   Escrever a função F → ( x , y , z ) como função da parametrização

Vimos que:

F → x , y , z = x 2 y i → - 3 x y 2 j → + 4 y 2 k →

Como ela já está em função de x e y , que são os nossos parâmetros, nada irá mudar.

3 )   Calcular o vetor normal à superfície, usando que:

N → =   ∂ ϕ ∂ x × ∂ ϕ ∂ y

Bom, temos que:

∂ ϕ ∂ x = ( 1,0 ,   - 2 x )

Analogamente:

∂ ϕ ∂ y = ( 0,1 , - 2 y )

Assim:

N → = i j k 1 0 - 2 x 0 1 - 2 y

= 2 x ⋅ i → + 2 y ⋅ j → + k →

O legal é que, quando estamos no ponto ( 0,0 , 9 ) de fato o vetor normal vale k → . Ou seja, estamos na orientação correta para a superfície S .

4 )   Montar a integral:

Usando a nossa parametrização e a normal encontrada, teremos:

∫ ∫ S F → ⋅ N → d σ =   ∫ ∫ D x 2 y i → - 3 x y 2 j → + 4 y 2 k → ⋅ 2 x ⋅ i → + 2 y ⋅ j → + k → ⋅ d x d y

= ∫ ∫ D ( 2 x 3 y - 6 x y 3 + 4 y 2 ) ⋅ d x d y  

Excelente! Conseguimos chegar na integral dupla. Agora vamos resolvê-la 😊

Passo 3

Precisamos resolver a integral:

∫ ∫ D 2 x 3 y - 6 x y 3 + 4 y 2 ⋅ d x d y

Ainda não determinamos os limites de integração dessa integral. Para isso, vamos fazer uma mudança de variáveis:

x = r c o s   θ y = r s e n   θ

O Jacobiano dessa mudança de variável vale:

J = ∂ x ∂ r ∂ x ∂ θ ∂ y ∂ r ∂ y ∂ θ = r

Como tínhamos que S era parte do paraboloide:

z = 9 - x 2 - y 2

com z ≥ 0 , temos:

9 - x 2 - y 2 ≥ 0

Substituindo pela mudança de variáveis:

9 - r 2 ≥ 0

∴ 0 ≤ r ≤ 3

Além disso:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Por fim, a função que estava sendo integrada fica:

2 x 3 y - 6 x y 3 + 4 y 2 = 2 r 4 cos 3 ⁡ θ s e n θ - 6 r 4 c o s θ s e n 3 θ + 4 r 2 s e n 2 θ

Perfeito! Aplicando a mudança de variáveis na integral, teremos:

∫ ∫ D 2 x 3 y - 6 x y 3 + 4 y 2 ⋅ d x d y

=   ∫ 0 2 π ∫ 0 3 2 r 4 cos 3 ⁡ θ s e n θ - 6 r 4 c o s θ s e n 3 θ + 4 r 2 s e n 2 θ r d r d θ

Separando essa integral, ficamos com:

∫ 0 2 π ∫ 0 3 2 r 4 cos 3 ⁡ θ s e n θ r d r d θ - ∫ 0 2 π ∫ 0 3 6 r 4 c o s θ s e n 3 θ r d r d θ

+ ∫ 0 2 π ∫ 0 3 4 r 2 s e n 2 θ r d r d θ

Perfeito! Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 4

Começando por:

∫ 0 2 π ∫ 0 3 2 r 4 cos 3 ⁡ θ s e n θ r d r d θ

Ficamos com:

∫ 0 2 π cos 3 ⁡ θ s e n θ d θ ∫ 0 3 2 r 5 d r

Resolvendo a integral mais interna:

∫ 0 2 π cos 3 ⁡ θ s e n θ d θ 2 r 6 6 0 3

= 243 ⋅ ∫ 0 2 π cos 3 ⁡ θ s e n   θ d θ

Fazendo:

cos ⁡ θ = u

∴ - s e n θ d θ = d u

Logo, ajeitando também os limites de integração, a integral fica:

∫ 0 π cos 3 ⁡ θ s e n   θ d θ + ∫ π 2 π cos 3 ⁡ θ s e n   θ d θ = ∫ 1 - 1 - u 3 d u + ∫ - 1 1 - u 3 d u

= 0

Logo, a primeira integral é nula.

Vamos pra segunda:

∫ 0 2 π ∫ 0 3 6 r 4 c o s θ s e n 3 θ r d r d θ

∫ 0 2 π c o s θ s e n 3 θ d θ ∫ 0 3 6 r 5 d r

Começando pela integral mais externa:

∫ 0 2 π c o s θ s e n 3 θ d θ

Fazendo:

s e n   θ = u

∴ c o s θ d θ = d u

Log:

∫ 0 π 2 c o s θ s e n 3 θ d θ + ∫ π 2 2 π c o s θ s e n 3 θ d θ = ∫ 0 1 u 3 d u + ∫ 1 0 u 3 d u

= 0

Como essa integral é nula, todo esse termo zera.

Massa!

Vamos então para a última integral:

∫ 0 2 π ∫ 0 3 4 r 2 s e n 2 θ r d r d θ

=   ∫ 0 2 π s e n 2 θ d θ ∫ 0 3 4 r 3 d r

Como:

s e n 2 θ = 1 - c o s 2 θ 2

Temos:

∫ 0 2 π s e n 2 θ = ∫ 0 2 π 1 - cos ⁡ 2 θ 2

= θ 2 - s e n 2 θ 4 0 2 π = π

Muito bom! Logo:

∫ 0 2 π s e n 2 θ d θ ∫ 0 3 4 r 3 d r = π ⋅ ∫ 0 3 4 r 3 d r

= π r 4 0 3

= 81 π

Excelente!

Voltando à expressão principal para a integral de superfície:

∫ 0 2 π ∫ 0 3 2 r 4 cos 3 ⁡ θ s e n θ r d r d θ - ∫ 0 2 π ∫ 0 3 6 r 4 c o s θ s e n 3 θ r d r d θ

+ ∫ 0 2 π ∫ 0 3 4 r 2 s e n 2 θ r d r d θ

= 0 + 0 + 81 π

Portanto, a integral de superfície dada, ou seja, o fluxo de F → sobre S vale:

81 π

Prontinho galera! Obrigado pela atenção 😊

Resposta

81 π

Exercícios de Livros Relacionados

Avalie a integral de superfície ∬ S F → ⋅ d S → para o campo vetorial dado F → e a superfície orientada S . Em outras palavras, localize o fluxo de F através deS . Para superfícies fechadas, use a ori
Calcule a integral de superfície ∫ ∫ SF ∙ d S para o campo vetorial F e superfície orientada S . Em outras palavras, determine o fluxo de F através de S . Para superfícies fechadas, use a orientação p
Calcule a integral de superfície ∫ ∫ SF ∙ d S para o campo vetorial F e superfície orientada S . Em outras palavras, determine o fluxo de F através de S . Para superfícies fechadas, use a orientação p
A temperatura de um ponto da bola com condutividade K é inversamente proporcional à distância do centro da bola. Determine a taxa de transmissão de calor através de uma esfera S de raio a e centro da
Determine uma fórmula para ∬ S F → ⋅ d S → semelhante à fórmula 10 para o caso onde S é dado por y = h ( x , z ) e n → é o vetor normal unitário que aponta para a esquerda.