(Capítulo 16.7 – Exercício 23) Avalie a integral de superfície ∬ S F → ⋅ d S → para o campo vetorial dado F → e a superfície orientada S . Em outras palavras, localize o fluxo de F através de   S . Para superfícies fechadas, use a orientação (para o exterior) positiva.

F → x , y , z = x y i ^ + y z j ^ + x z k ^

S é a parte do paraboloide z = 4 - x 2 y 2 que está acima do quadrado 0 ≤ x ≤ 1 ,   0 ≤ y ≤ 1 , e com orientação ascendente

Passo 1

Faaaala galera, vamos lá entender direitinho o que temos que fazer nesse exercício

Temos que “S é a parte do paraboloide z = 4 - x 2 y 2 que está acima do quadrado 0 ≤ x ≤ 1 ,   0 ≤ y ≤ 1 , e com orientação ascendente”

E aí queremos encontrar o fluxo de F → através de S

O fluxo ϕ de um campo é definido como

ϕ = ∬ S F → ⋅ d S →

Onde

d S → = - r → u × r → v d A

Então vamos lá!!

Vamos começar olhando a região de integração. No plano x y é um quadrado de lado 1 , então:

d A = d x d y 0 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤ 1

Passo 2

A função g x , y = z é g x , y = 4 - x 2 - y 2 , então o vetor normal n → é:

n → = - ∂ g ∂ x ,   - ∂ g ∂ y ,   1 = ( 2 x ; 2 y ; 1 )

E o produto escalar entre esse vetor e o campo F → é:

x z ; y z ; x z ⋅ 2 x ; 2 y ; 1 = 2 x 2 y + 2 y 2 z + x y

Mas sabemos que z = 4 - x 2 - y 2 , então o produto escalar é:

2 x 2 y + 8 y 2 - 2 y 2 x 2 - 2 y 4 + 4 x - x 3 - x y 2

E esse vai ser nosso integrando! Agora é só jogar tudo numa integral dupla e sair calculando! Bora lá?

Passo 3

Vamos ter essa integral:

∫ 0 1 ∫ 0 1 ( 2 x 2 y + 8 y 2 - 2 y 2 x 2 - 2 y 4 + 4 x - x 3 - x y 2 ) d y d x

Considerando x como constante, vamos integrar primeiro em y :

∫ 0 1 2 x 2 y 2 2 + 8 y 3 3 - 2 y 3 x 2 3 - 2 y 5 5 + 4 x y - x 3 y - x y 3 3 0 1 d x

Agora vamos aplicar os limites:

∫ 0 1 x 2 + 8 3 - 2 x 2 3 - 2 5 + 4 x - x 3 - x 3   d x

E juntar os semelhantes:

∫ 0 1 x 2 3 + 11 3 x - x 3 + 34 15 d x = x 3 9 + 11 6 x 2 - x 4 4 + 34 x 15 0 1

E por fim, aplicar novamente os limites:

1 9 + 11 6 - 1 4 + 34 15 = 20 + 330 - 45 + 408 180 = 713 180

E é isso galerinha!

Resposta

713 180

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