4. Considere um escoamento com velocidade v → x , y , z e densidade ρ x , y , z , tal que F → = ρ v → seja dado por F → = x i → + y j → - 2 z k → . Seja S a superfície x 2 + y 2 + z 2 = 4 , z ≥ 2 e seja n → a normal com componente z > 0 . Calcule o fluxo de F → através de S .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nessa questão, queremos obter o fluxo de F → através de uma superfície S definida por x 2 + y 2 + z 2 = 4 para z ≥ 2 .

Como podemos resolver esse problema? 👀

Para nos auxiliar nesse problema, podemos aplicar o teorema de Gauss que nos diz que o fluxo de um campo que passa em uma superfície fechada é obtida a partir da integral do seu divergente.

Dado um campo F = a , b , c , seu divergente pode ser obtido como

D i v F = ∂ a ∂ x + ∂ b ∂ y + ∂ c ∂ z

Sacou? Bora começar! 😊

Passo 2

No nosso caso, o fluxo é dado por

F → = x i → + y j → - 2 z k →

Portanto, seu divergente é obtido como

D i v F = ∂ x ∂ x + ∂ y ∂ y + ∂ - 2 z ∂ z

D i v F = 1 + 1 - 2

D i v F = 0

Montando nosso problema a partir do teorema de Gauss, temos

∬ S F → · N → d S = ∭ V D i v F d V

Porém, temos um problema, esse teorema só é valido para superfícies fechadas.

No nosso caso, a superfície S é dada pela parte superior da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 em z ≥ 2 .

Portanto, temos que adicionar mais uma superfície S 1 como uma “tampa” em z = 2 para fechar nossa superfície.

Adaptando nosso problema, vamos ter

∬ S F → · N → d S + ∬ S 1 F → · N 1 → d S 1 = ∭ V D i v F d V

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Essa superfície que adicionamos no problema, é dada sob o plano z = 2 e obtendo a figura, substituindo em x 2 + y 2 + z 2 = 4 , temos

x 2 + y 2 + 2 2 = 4

x 2 + y 2 + 2 = 4

x 2 + y 2 = 2

Ou seja, a superfície S 1 é uma circunferência de raio 2 .

Obtendo o vetor normal e essa superfície, vemos que como é um plano paralelo ao plano x y , as coordenadas x e y de N → são 0 , e portanto, como N → é um vetor unitário e aponta para fora do solido gerado pelas superfícies, temos que

N 1 → = 0,0 , - 1

Substituindo esses resultados na equação do problema...

∬ S F → · N → d S + ∬ S 1 F → · N 1 → d S 1 = ∭ V D i v F d V

∬ S F → · N → d S + ∬ S 1 x , y , - 2 z · 0,0 , - 1 d S 1 = ∭ V 0 d V

∬ S F → · N → d S + ∬ S 1 - 2 z d S 1 = 0

∬ S F → · N → d S = ∬ S 1 2 z d S 1

Como z é fixo em 2 , então

∬ S F → · N → d S = ∬ S 1 2 2 d S 1

∬ S F → · N → d S = 2 2 ∬ S 1 d S 1

Perceba que a integral ��� S 1 d S 1 resulta na área da superfície S 1 , assim, podemos substituir na integral através de coordenadas polares ou simplesmente fazemos A = π r 2 .

Como vimos que a superfície é dada pela equação x 2 + y 2 = 2 , vemos que r = 2 , ou seja

∬ S 1 d S 1 = π 2 2 = 2 π

Substituindo na integral do fluxo...

∬ S F → · N → d S = 2 2 · 2 π

∬ S F → · N → d S = 4 2 π

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

∬ S F → · N → d S = 4 2 π

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