Calcule a integral de superfície ∫ ∫ S F → ⋅ N →   d σ para cada um dos campos de vetores F → e superfícies orientadas S indicadas abaixo. Em outras palavras, calcule o fluxo de F → através de S. Quando S é uma superfície fechada, admita que S está orientada pela normal exterior.

( g ) F → ( x , y , z ) = ( ( x + y ) , - ( 2 y + 1 ) ,     z ) e S é o retângulo de vértices (1, 0, 1), (1, 0, 0), ( 0, 1, 0), (0, 1, 1), orientado de modo que sua normal N → satisfaz N → . j ^ > 0 ;

Passo 1

Eaew, belezinha?

O enunciado nos pede para calcularmos a seguinte integral

∫ ∫ S F → ⋅ N →   d σ

em que levamos em consideração o seguinte campo vetorial

F → ( x , y , z ) = ( ( x + y ) , - ( 2 y + 1 ) ,   z )

E a superfície é o retângulo de vértices (1, 0, 1), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 1, 1), orientado de modo que sua normal N → satisfaz N → . j ^ > 0 .

Temos que calcular o fluxo do campo através desse plano! Vamos lá!

Passo 2

Temos que o plano que esse retângulo está contido é dado pela expressão:

y = 1 - x

Sendo 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ 1 . A expressão do vetor normal pode ser obtida através do seguinte produto vetorial

N → = ∂ ϕ ( u , v ) ∂ u × ∂ ϕ ( u , v ) ∂ v

em que ϕ ( u , v ) é uma parametrização da superfície. Escolhemos a seguinte parametrização

ϕ ( x , z ) = ( x , 1 - x , z ) .

Vamos calcular as derivadas e o produto vetorial:

N → = ∂ ϕ ( x , z ) ∂ x × ∂ ϕ ( x , z ) ∂ z = ( 1 , - 1,0 ) × ( 0,0 , 1 ) .

Assim, obtemos que a normal é:

  N → = ( - 1 , - 1 ,   0 ) .

Como N → . j ^ > 0 , fazemos

N → = ( 1,1 ,   0 ) .

Passo 3

A integral é tal que

∫ ∫ S F → ⋅ N →   d σ = ∫ ∫ S ( ( x + ( 1 - x ) ) , - ( 2 ( 1 - x ) + 1 ) ,   z ) . ( 1 , 1 ,   0 ) d σ = ∫ ∫ S 1 - 2 + 2 x - 1 d σ = ∫ ∫ S ( 2 x - 2 ) d σ

temos que a parametrização foi feita em ( x ,   z ) , portanto d σ = d x d z . Sendo, 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ 1. Nossa integral se torna então

∫ ∫ S 2 x - 2 d σ = ∫ 0 1 ∫ 0     1 2 x - 2 d x d z

Resolvendo essa integral simples, temos

∫ 0 1 ∫ 0     1 2 x - 2 d x d z = x 2 - 2 x | 0 1 z | 0 1 = 1 - 2 1 = - 1

então,

∫ ∫ S 1 F → ⋅ N →   d σ = - 1

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

∫ ∫ S F → ⋅ N → d σ = - 1

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