Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial

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Enunciado

Calcule:

∬ S   F ∙ n d S

Onde F x , y , z = ( 2 y , - z , x 2 ) e S é a superfície do cilindro y 2 = 8 x situada no primeiro octante e limitada pelos planos y = 4 e z = 6 . Oriente a normal de forma que sua coordenada x seja positiva.

Passo 1

Uma parametrização para a superfície é dada por:

y = v → x = v 2 8

z = w

Segue que:

ϕ v , w = v 2 8 , v , w

v ∈ 0,4

w ∈ 0,6

Passo 2

O vetor normal vezes o elemento de área tem a seguinte fórmula:

n   d S = ∂ ϕ ∂ v × ∂ ϕ ∂ w   d v d w

Para calcular o vetor normal fazemos as parciais:

∂ ϕ ∂ v = v 4 , 1,0

∂ ϕ ∂ w = 0,0 , 1

Temos que o vetor normal é:

∂ ϕ ∂ v × ∂ ϕ ∂ w = i j k v 4 1 0 0 0 1

∂ ϕ ∂ v × ∂ ϕ ∂ w = 1 , - v 4 , 0

Observe que esse vetor normal tem o mesmo sentido que o proposto pelo enunciado.

Passo 3

Substituindo a parametrização no campo: F = 2 v , - w , v 4 64

E na fórmula da integral:

∬ S   F ∙ n d S = ∫ 0 6 ∫ 0 4 2 v , - w , v 4 64 ∙ 1 , - v 4 , 0 d v d w

Obtemos:

∬ S   F ∙ n d S = ∫ 0 6 ∫ 0 4 2 v + w v 4 d v d w

Agora basta integrar. Como os termos são lineares não é muito complicado:

∬ S   F ∙ n d S = ∫ 0 6 v 2 0 4 + w v 2 0 4 8 d w

∬ S   F ∙ n d S = ∫ 0 6 4 2 + 4 2 w 8 d w

∬ S   F ∙ n d S = ∫ 0 6 16 + 2 w d w

∬ S   F ∙ n d S = 16 × 6 + w 2 0 6

∬ S   F ∙ n d S = 96 + 36

Finalmente.

Resposta

∬ S   F ∙ n d S = 132

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