Seja S a superfície de um copo sem tampa, descrito a seguir: a lateral do copo é o cilindro x 2 + y 2 = 1 , - 4 ≤ z ≤ 0 ; o fundo do copo é a parte do plano z =   - 4 que se encontra dentro do cilindro. Considere o campo vetorial F x , y , z = f x , y , z x i + y j + z k , onde f ( x , y , z ) é uma função real (escalar) de classe C 1 em R 3 - { 0,0 , 0 } . Calcule ∬ r o t   F ∙ n d S onde n é a normal a S apontando para fora.

Passo 1

Pelo Teorema de Stokes:

∫ ∫ C r o t   F ∙ n d S = ∫ C F ∙ d r

Onde C é o circulo x 2 + y 2 = 1 no plano z = 0 , orientado no sentido horário quando visto de cima, que pode ser parametrizado por

r t = sin ⁡ t , cos ⁡ t ,   0 ≤ t ≤ 2 π

Agora

F r t = f sin ⁡ t , cos ⁡ t ,   0 sin ⁡ t , cos ⁡ t ,   0

r t = cos ⁡ t ,   - sin ⁡ t , 0

Passo 2

Portanto,

F r t ∙ r t = f sin ⁡ t , cos ⁡ t ,   0 sin ⁡ t , cos ⁡ t ,   0 ∙ cos ⁡ t ,   - sin ⁡ t , 0 = 0

Ao longo da curva C. Assim

∫ ∫ S r o t F ∙ n d S = ∫ C F ∙ d r = 0

Todo esse trabalho, e deu zero... é assim mesmo. Forte abraço e até a próxima.

Resposta

0

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