Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial

USP - Cálculo 3 - P3 2010 - 1b

Calcule ∬ S   F → . N → d σ , sendo F → x , y , z = - y i → + x j → + z k → e S a parte de x 2 + y 2 + z 2 = 1 que satisfaz 2 2 ≤ z ≤ 3 2 , orientada pela normal N → tal que N → . k → > 0 .

Passo 1

Antes de tudo, vamos pensar que superfície é essa do problema. Temos uma esfera de raio 1 cortada por dois planos paralelos z = 2 2 e z = 3 2 .

A superfície S é esse pedaço da esfera entre os dois planos.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos parametrizar essa superfíce em coordenadas esféricas com ρ = 1 , ok? Temos:

x = cos ⁡ θ s e n   φ

y = s e n   θ   s e n   φ

z = cos ⁡ φ

O que nos dá

σ θ , φ = ( cos ⁡ θ s e n   φ ,   s e n   θ   s e n   φ , cos ⁡ φ )

Como

2 2 ≤ z ≤ 3 2

Temos

2 2 ≤ cos ⁡ φ ≤ 3 2

Logo, φ vai de π / 6 a π / 4 .

Como temos a volta completa em torno do eixo z , 0 ≤ θ ≤ 2 π .

Passo 3

Agora temos que calcular a normal ∂ σ ∂ θ × ∂ σ ∂ φ

σ θ , φ = ( cos ⁡ θ s e n   φ ,   s e n   θ   s e n   φ , cos ⁡ φ )

Temos:

∂ σ ∂ θ = - sen ⁡ θ s e n   φ , cos ⁡ θ s e n   φ , 0

∂ σ ∂ φ = ( cos ⁡ θ cos ⁡ φ ,   s e n   θ cos ⁡ φ , - s e n   φ )

∂ σ ∂ θ × ∂ σ ∂ φ = i ^ j ^ k ^ - sen ⁡ θ s e n   φ cos ⁡ θ s e n   φ 0 cos ⁡ θ cos ⁡ φ s e n   θ cos ⁡ φ - s e n   φ =

= - s e n 2 φ cos ⁡ θ , - s e n 2 φ   s e n   θ , - cos 2 ⁡ θ s e n   φ cos ⁡ φ - s e n 2 θ   s e n   φ cos ⁡ φ =

= - s e n 2 φ cos ⁡ θ , - s e n 2 φ   s e n   θ , - s e n   φ cos ⁡ φ

Como o problema diz que a normal tal que N → . k → > 0 , precisamos inverter o sinal da normal aqui:

N → = s e n 2 φ cos ⁡ θ , s e n 2 φ   s e n   θ , s e n   φ cos ⁡ φ

Passo 4

Agora, para calcular essa integral, vamos usar a seguinte fórmula:

∬ S   F → . n → d S = ∬ D   F → σ θ , φ . ∂ σ ∂ θ × ∂ σ ∂ φ d θ d φ

Aplicando os valores que nós temos:

∬ S   F → ⋅ n → d S = ∬ D   F → σ θ , φ . s e n 2 φ cos ⁡ θ , s e n 2 φ   s e n   θ , s e n   φ cos ⁡ φ d θ d φ

Escrevendo o campo em função das variáveis da parametrização, temos:

F → x , y , z = - y , x , z

σ θ , φ = ( cos ⁡ θ s e n   φ ,   s e n   θ   s e n   φ , cos ⁡ φ )

F → σ θ , φ = - s e n   θ   s e n   φ , cos ⁡ θ s e n   φ , cos ⁡ φ

Levando para a integral

= ∬ D   - s e n   θ   s e n   φ , cos ⁡ θ s e n   φ , cos ⁡ φ . s e n 2 φ cos ⁡ θ , s e n 2 φ   s e n   θ , s e n   φ cos ⁡ φ d θ d φ =

= ∬ D   - s e n   θ cos ⁡ θ   s e n 3   φ + s e n   θ cos ⁡ θ s e n 3   φ + s e n   φ cos 2 ⁡ φ d θ d φ =

= ∬ D   s e n   φ cos 2 ⁡ φ d θ d φ =

= ∫ π 6 π 4 ∫ 0 2 π s e n   φ cos 2 ⁡ φ d θ d φ =

Passo 5

Agora vamos resolver isso aí

= 2 π ∫ π 6 π 4 s e n   φ cos 2 ⁡ φ d φ =

= - 2 π 3 cos 3 ⁡ φ π 6 π 4 =

= - 2 π 3 2 2 8 - 3 3 8 =

= π 12 3 3 - 2 2

Resposta

π 12 3 3 - 2 2

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