Calcule a integral de superfície ∫ ∫ S F → ⋅ N → d σ   para cada um dos campos de vetores F → e superfícies orientadas S indicadas abaixo. Em outras palavras, calcule o fluxo de F → através de S . Quando S é uma superfície fechada, admita que S está orientada pela normal exterior.

b )   F → x , y , z = x i → + x y j → + x z k →   e S é a parte do plano 3 x + 2 y + z = 6 interior ao cilindro x 2 + y 2 = 1 , orientada de modo que seu vetor normal é 1 14 ( 3 i → + 2 j → + k → ) ;

Passo 1

Eaí galera, como vocês estão?

Nessa questão precisamos calcular uma integral de superfície no caso vetorial.

No caso desse item temos a função vetorial:

F → x , y , z = x i → + x y j → + x z k →

Além disso, a superfície S é dada pela parte do plano 3 x + 2 y + z = 6 interior ao cilindro x 2 + y 2 = 1 . Uma informação extra dada nesse item que nos ajuda bastante, é que a normal à superfície é dada por:

N → = 1 14   3 i → + 2 j → + k →

Vocês lembram a receita do bolo pra calcular esse tipo de integral?

Hahaha! Então bora dar uma revisada nos passos!

Imagina que temos que calcular:

∫ ∫ S F → ⋅ N → d σ

1 )   Parametrizar a superfície S

ϕ ( u , v )

2 )   Escrever a função F → ( x , y , z ) como função da parametrização

F → ϕ u , v

3 )   Calcular o vetor normal à superfície, usando que:

N → =   ∂ ϕ ∂ u × ∂ ϕ ∂ v

4 )   Montar a integral:

∫ ∫ S F → ⋅ N → d σ = ∫ ∫ D F → ϕ u , v ⋅ ∂ ϕ ∂ u × ∂ ϕ ∂ v d u d v

5 )   Resolver como uma integral dupla normal!

Show de bola gente! Essa é a receitinha de bolo pra gente matar qualquer integral de superfície no caso vetorial.

Passo 2

Massa! Vamos começar a nossa receita de bolo 😊.

1 )   Parametrizar a superfície S

Vamos usar a própria parametrização explícita, já que na equação de um plano conseguimos isolar uma das variáveis em função das outras.

3 x + 2 y + z = 6

∴ z = 6 - 3 x - 2 y

Assim:

ϕ x , y = ( x , y , 6 - 3 x - 2 y )

Ainda não conseguimos definir os intervalos de variação de x e y em S . Mas, podemos fazer isso mais pra frente, então vamos prosseguir 😊

2 )   Escrever a função F → ( x , y , z ) como função da parametrização

Bom, aqui vamos escrever a nossa função F → ( x , y , z ) em função apenas dos parâmetros x e y .

F → x , y , z = x i → + x y j → + x z k →

Trocando z   por 6 - 3 x - 2 y , temos:

F → ϕ x , y = x i → + x y j → + x 6 - 3 x - 2 y k →

Perfeito!

3 )   Calcular o vetor normal à superfície:

Bom, a notícia boa é que o enunciado já nos deu o vetor normal unitário. Temos:

N ^ = 1 14   3 i → + 2 j → + k →

Mas, para montar a integral conforme mostramos no passo 1 , temos que usar o vetor normal, e não o vetor normal unitário. Por isso, vamos multiplicar o vetor dado pelo seu módulo:

N → = 1 14   3 i → + 2 j → + k → ⋅ 3 2 + 2 2 + 1 2

N → = ( 3 i → + 2 j → + k → )  

Boa 😊

4 )   Montar a integral:

∫ ∫ S F → ⋅ N → d σ = ∫ ∫ D F → ϕ u , v ⋅ ∂ ϕ ∂ u × ∂ ϕ ∂ v d u d v

Vamos reunir os dados que já conseguimos pra montar a integral do lado direito

∫ ∫ D x i → + x y j → + x 6 - 3 x - 2 y k → ⋅ 3 i → + 2 j → + k → d x d y

Fazendo o produto escalar que apareceu dentro da integral, vamos ter:

x i → + x y j → + x 6 - 3 x - 2 y k → ⋅ 3 i → + 2 j → + k → = ⋅ 3 x + 2 x y + x 6 - 3 x - 2 y

= 3 x + 2 x y + 6 x - 3 x 2 - 2 x y

= ( 9 x - 3 x 2 )

Substituindo na integral, vamos ter:

∫ ∫ D x i → + x y j → + x 6 - 3 x - 2 y k → ⋅ 3 i → + 2 j → + k → d x d y

=   ∫ ∫ D ( 9 x - 3 x 2 ) d x d y

Perfeito! Nossa missão é resolver essa integral!

Passo 3

Precisamos resolver a integral:

∫ ∫ D ( 9 x - 3 x 2 ) d x d y

Mas, não conhecemos o intervalo de variação de x e de y em S . Como S é limitada por um cilindro, precisaremos fazer uma mudança de variáveis pras coordenadas cilíndricas.

x = r c o s   θ y = r s e n   θ

Como o cilindro que limita S é dado por:

x 2 + y 2 = 1

Logo:

r 2 = 1

Mas, essa é a limitação para o raio r . Portanto:

0 ≤ r ≤ 1

Além disso:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Precisamos também calcular o Jacobiano, já que fizemos uma mudança de variáveis na integral dupla.

J = ∂ x ∂ r ∂ x ∂ θ ∂ y ∂ r ∂ y ∂ θ

= c o s θ - r s e n θ s e n θ r c o s θ  

= r

Assim, vamos ter a integral:

∫ ∫ D ( 9 x - 3 x 2 ) d x d y

= ∫ 0 2 π ∫ 0 1 9 r c o s θ - 3 r c o s θ 2 d r d θ

Daí, vamos ter:

∫ 0 2 π 9 r 2 2 c o s θ - 3 r 3 ⋅ cos 2 ⁡ θ 3 0 1 d θ

= ∫ 0 2 π 9 2 c o s θ - cos 2 ⁡ θ d θ

Usando que:

cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ 2 θ 2

Temos:

∫ 0 2 π 9 2 c o s θ - 1 + cos ⁡ 2 θ 2 d θ

= 1 2 ⋅ ∫ 0 2 π - 1 + 9 c o s θ - cos ⁡ 2 θ d θ

= 1 2 ⋅ - θ + 9 s e n θ - s e n   2 θ 2 0 2 π

- π

Prontinho pessoal!

Curtiram a solução? Responde Aí!

Resposta

- π

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