Calcule a integral de superfície ∫ ∫ S F → ⋅ N →   d σ para cada um dos campos de vetores F → e superfícies orientadas S indicadas abaixo. Em outras palavras, calcule o fluxo de F → através de S. Quando S é uma superfície fechada, admita que S está orientada pela normal exterior.

( g ) F → ( x , y , z ) = ( x ,   2 y ,   3 z ) e S é o cubo de vértices (±1, ±1, ±1);

Passo 1

Eaew, belezinha?

O enunciado nos pede para calcularmos a seguinte integral

∫ ∫ S F → ⋅ N →   d σ

em que levamos em consideração o seguinte campo vetorial

F → ( x , y , z ) = ( x ,   2 y ,   3 z )

e a superfície é o cubo de vértices (±1, ±1, ±1).

Temos que calcular o fluxo do campo em cada uma dessas 6 superfícies! Vamos lá!

Passo 2

A integral será a soma das seis integrais em cada lado do cubo. Primeiro vamos olhar para a superfície do plano x = 1 , -1 ≤ y ≤ 1 e -1 ≤ z ≤ 1. A expressão do vetor normal pode ser obtida através do seguinte produto vetorial

N → = ∂ ϕ ( u , v ) ∂ u × ∂ ϕ ( u , v ) ∂ v

em que ϕ ( u , v ) é uma parametrização da superfície. Escolhemos a seguinte parametrização

ϕ ( y , z ) = ( 1 , y , z ) .

Vamos calcular as derivadas e o produto vetorial:

N → = ∂ ϕ ( y , z ) ∂ y × ∂ ϕ ( y , z ) ∂ z = ( 0,1 , 0 ) × ( 0,0 , 1 ) .

Assim, obtemos que a normal é:

  N → = ( 1,0 ,   0 ) .

A integral é tal que

∫ ∫ S 1 F → ⋅ N →   d σ = ∫ ∫ S 1 ( x ,   2 y ,   3 z ) . ( 1,0 ,   0 ) d σ = ∫ ∫ S 1 x d σ = ∫ ∫ S 1 ( 1 ) d σ

temos que a parametrização foi feita em ( y ,   z ) , portanto d σ = d y d z . Sendo, -1 ≤ y ≤ 1 e -1 ≤ z ≤ 1. Nossa integral se torna então

∫ ∫ S 1 d σ = ∫ - 1 1 ∫ - 1     1 d y d z = [ y | - 1 1 ] [ z | - 1 1 ] = [ 1 - ( - 1 ) ] [ 1 - ( - 1 ) ] = 4

então,

∫ ∫ S 1 F → ⋅ N →   d σ = 4

Passo 3

Agora vamos olhar para a superfície do plano x = - 1 , -1 ≤ y ≤ 1 e -1 ≤ z ≤ 1. A expressão do vetor normal pode ser obtida através do seguinte produto vetorial

N → = ∂ ϕ ( u , v ) ∂ u × ∂ ϕ ( u , v ) ∂ v

em que ϕ ( u , v ) é uma parametrização da superfície . Escolhemos a seguinte parametrização

ϕ ( y , z ) = ( - 1 , y , z ) .

Vamos calcular as derivadas e o produto vetorial:

N → = ∂ ϕ ( y , z ) ∂ y × ∂ ϕ ( y , z ) ∂ z = ( 0,1 , 0 ) × ( 0,0 , 1 ) .

Assim, obtemos que a normal é:

  N → = ( 1,0 ,   0 ) .

Como queremos a normal exterior

  N → n → = - ( 1,0 ,   0 ) = ( 0 , -   1 ,   0 )

A integral é tal que

∫ ∫ S 2 F → ⋅ N →   d σ = ∫ ∫ S 2 ( x ,   2 y ,   3 z ) . ( - 1,0 ,   0 ) d σ = - ∫ ∫ S 2 x d σ = - ∫ ∫ S 2 ( - 1 ) d σ

temos que a parametrização foi feita em ( y ,   z ) , portanto d σ = d y d z . Sendo, -1 ≤ y ≤ 1 e -1 ≤ z ≤ 1. Nossa integral se torna então

∫ ∫ S 2 d σ = ∫ - 1 1 ∫ - 1     1 d y d z = [ y | - 1 1 ] [ z | - 1 1 ] = [ 1 - ( - 1 ) ] [ 1 - ( - 1 ) ] = 4

então,

∫ ∫ S 2 F → ⋅ N → d σ = 4

Passo 4

Agora vamos olhar para a superfície do plano y = 1 , -1 ≤ x ≤ 1 e -1 ≤ z ≤ 1. A expressão do vetor normal pode ser obtida através do seguinte produto vetorial

N ��� = ∂ ϕ ( u , v ) ∂ u × ∂ ϕ ( u , v ) ∂ v

em que ϕ ( u , v ) é uma parametrização da superfície. Escolhemos a seguinte parametrização

ϕ ( x , z ) = ( x , 1 , z ) .

Vamos calcular as derivadas e o produto vetorial:

N → = ∂ ϕ ( x , z ) ∂ x × ∂ ϕ ( x , z ) ∂ z = ( 1,0 , 0 ) × ( 0,0 , 1 ) .

Assim, obtemos que a normal é:

N → = ( 0 , - 1 ,   0 ) .

Como queremos a normal exterior

N → = - ( 0 , - 1 ,   0 ) = ( 0 ,   1 ,   0 )

A integral é tal que

∫ ∫ S 3 F → ⋅ N →   d σ = ∫ ∫ S 3 ( x ,   2 y ,   3 z ) . ( 0,1 ,   0 ) d σ = ∫ ∫ S 3 2 y d σ = ∫ ∫ S 3 2 ( 1 ) d σ

temos que a parametrização foi feita em ( x ,   z ) , portanto d σ = d x d z . Sendo, -1 ≤ x ≤ 1 e -1 ≤ z ≤ 1. Nossa integral se torna então

2 ∫ ∫ S 3 d σ = 2 ∫ - 1 1 ∫ - 1     1 d x d z = [ x | - 1 1 ] [ z | - 1 1 ] = 2 [ 1 - ( - 1 ) ] [ 1 - ( - 1 ) ] = 8

então,

∫ ∫ S 3 F → ⋅ N →   d σ = 8

Passo 5

Agora vamos olhar para a superfície do plano y = - 1 , -1 ≤ x ≤ 1 e -1 ≤ z ≤ 1. A expressão do vetor normal pode ser obtida através do seguinte produto vetorial

N → = ∂ ϕ ( u , v ) ∂ u × ∂ ϕ ( u , v ) ∂ v

em que ϕ ( u , v ) é uma parametrização da superfície. Escolhemos a seguinte parametrização

ϕ ( x , z ) = ( x , - 1 , z ) .

Vamos calcular as derivadas e o produto vetorial:

N → = ∂ ϕ ( x , z ) ∂ x × ∂ ϕ ( x , z ) ∂ z = ( 1,0 , 0 ) × ( 0,0 , 1 ) .

Assim, obtemos que a normal é:

  N → = ( 0 , - 1 ,   0 ) .

A integral é tal que

∫ ∫ S 4 F → ⋅ N →   d σ = ∫ ∫ S 4 ( x ,   2 y ,   3 z ) . ( 0 , - 1 ,   0 ) d σ = ∫ ∫ S 4 - 2 y d σ = ∫ ∫ S 4 - 2 ( - 1 ) d σ

temos que a parametrização foi feita em ( x ,   z ) , portanto d σ = d x d z . Sendo, -1 ≤ x ≤ 1 e -1 ≤ z ≤ 1. Nossa integral se torna então

2 ∫ ∫ S 4 d σ = 2 ∫ - 1 1 ∫ - 1     1 d x d z = [ x | - 1 1 ] [ z | - 1 1 ] = 2 [ 1 - ( - 1 ) ] [ 1 - ( - 1 ) ] = 8

então,

∫ ∫ S 4 F → ⋅ N →   d σ = 8

Passo 6

Agora vamos olhar para a superfície do plano z = 1 , -1 ≤ x ≤ 1 e -1 ≤ y ≤ 1. A expressão do vetor normal pode ser obtida através do seguinte produto vetorial

N → = ∂ ϕ ( u , v ) ∂ u × ∂ ϕ ( u , v ) ∂ v

em que ϕ ( u , v ) é uma parametrização da superfície. Escolhemos a seguinte parametrização

ϕ ( x , y ) = ( x , y , 1 ) .

Vamos calcular as derivadas e o produto vetorial:

N → = ∂ ϕ ( x , z ) ∂ x × ∂ ϕ ( x , z ) ∂ z = ( 1,0 , 0 ) × ( 0,1 , 0 ) .

Assim, obtemos que a normal é:

N → = ( 0 ,   0 ,   1 ) .

A integral é tal que

∫ ∫ S 5 F → ⋅ N → d σ = ∫ ∫ S 5 ( x ,   2 y ,   3 z ) . ( 0 ,   0,1 ) d σ = ∫ ∫ S 5 3 z d σ = ∫ ∫ S 5 3 ( 1 ) d σ

temos que a parametrização foi feita em ( x ,   y ) , portanto d σ = d x d y . Sendo, -1 ≤ x ≤ 1 e -1 ≤ y ≤ 1. Nossa integral se torna então

3 ∫ ∫ S 5 d σ = 3 ∫ - 1 1 ∫ - 1     1 d x d y = [ x | - 1 1 ] [ y | - 1 1 ] = 3 [ 1 - ( - 1 ) ] [ 1 - ( - 1 ) ] = 12

então,

∫ ∫ S 5 F → ⋅ N →   d σ = 12

Passo 7

Agora vamos olhar para a superfície do plano z = - 1 , -1 ≤ x ≤ 1 e -1 ≤ y ≤ 1. A expressão do vetor normal pode ser obtida através do seguinte produto vetorial

N → = ∂ ϕ ( u , v ) ∂ u × ∂ ϕ ( u , v ) ∂ v

em que ϕ ( u , v ) é uma parametrização da superfície. Escolhemos a seguinte parametrização

ϕ ( x , y ) = ( x , y , - 1 ) .

Vamos calcular as derivadas e o produto vetorial:

N → = ∂ ϕ ( x , z ) ∂ x × ∂ ϕ ( x , z ) ∂ z = ( 1,0 , 0 ) × ( 0,1 , 0 ) .

Assim, obtemos que a normal é:

  n → = ( 0 ,   0 ,   1 ) .

Como queremos a normal exterior

N → = - ( 0 ,   0 ,   1 ) = ( 0 ,   0 ,   - 1 )

A integral é tal que

∫ ∫ S 6 F → ⋅ N →   d σ = ∫ ∫ S 6 ( x ,   2 y ,   3 z ) . ( 0 ,   0 , - 1 ) d σ = - ∫ ∫ S 6 3 z d σ = - ∫ ∫ S 6 3 ( - 1 ) d σ

temos que a parametrização foi feita em ( x ,   y ) , portanto d σ = d x d y . Sendo, -1 ≤ x ≤ 1 e -1 ≤ y ≤ 1. Nossa integral se torna então

3 ∫ ∫ S 6 d σ = 3 ∫ - 1 1 ∫ - 1     1 d x d y = [ x | - 1 1 ] [ y | - 1 1 ] = 3 [ 1 - ( - 1 ) ] [ 1 - ( - 1 ) ] = 12

então,

∫ ∫ S 6 F → ⋅ N →   d σ = 12

Passo 8

Agora, somando a contribuição das três integrais

∫ ∫ S F → ⋅ N → d σ = ∫ ∫ S 1 F → ⋅ N →   d σ + ∫ ∫ S 2 F → ⋅ N →   d σ + ∫ ∫ S 3 F → ⋅ N →   d σ + ∫ ∫ S 4 F → ⋅ N →   d σ + ∫ ∫ S 5 F → ⋅ N →   d σ + ∫ ∫ S 6 F → ⋅ N →   d σ

∫ ∫ S F → ⋅ N →   d σ = 4 + 4 + 8 + 8 + 12 + 12 = 48

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

∫ ∫ S F → ⋅ N → d σ = 48

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