Calcule a integral de superfície ∫ ∫ S F → ⋅ N →   d σ para cada um dos campos de vetores F → e superfícies orientadas S indicadas abaixo. Em outras palavras, calcule o fluxo de F → através de S. Quando S é uma superfície fechada, admita que S está orientada pela normal exterior.

( f ) F → ( x , y , z ) = ( y ,   0 ,   - z ) e S consiste de parabolóide y = x 2   + z 2 , 0 ≤ y ≤ 1 e do disco x 2   + z 2 ≤ 1 , y = 1;

Passo 1

Eaew, belezinha?

O enunciado nos pede para calcularmos a seguinte integral

∫ ∫ S F → ⋅ N →   d σ

em que levamos em consideração o seguinte campo vetorial

F → ( x , y , z ) = ( y ,   0 ,   - z )

e a superfície consiste de paraboloide

y = x 2   + z 2 , 0 ≤ y ≤ 1

e do disco

x 2   + z 2 ≤ 1 , y = 1

Primeiro vamos encontrar o vetor normal dessas superfícies! Vamos lá!

Passo 2

A integral será a soma das integrais em cada superfície. Primeiro vamos olhar para a superfície y = x 2   + z 2 , 0 ≤ y ≤ 1. A expressão do vetor normal pode ser obtida através do seguinte produto vetorial

N → = ∂ ϕ ( u , v ) ∂ u × ∂ ϕ ( u , v ) ∂ v

em que ϕ ( u , v ) é uma parametrização da superfície. Escolhemos a seguinte parametrização

ϕ ( x , z ) = ( x , x 2 + z 2 , z ) .

Vamos calcular as derivadas e o produto vetorial:

N → n → = ∂ ϕ ( x , z ) ∂ x × ∂ ϕ ( x , z ) ∂ z = ( 1,2 x , 0 ) × ( 0,2 z , 1 ) .

Assim, obtemos que a normal é:

  N → = ( 2 x , - 1,2 z ) .

Passo 3

A integral é tal que

∫ ∫ S 1 F → ⋅ N → d σ = ∫ ∫ S 1 ( y ,   0 ,   - z ) . ( 2 x , - 1,2 z ) d σ = ∫ ∫ S 1 ( 2 x y - 2 z 2   ) d σ

temos que a parametrização foi feita em ( x ,   z ) , portanto d σ = d x d z . Como a superfície é um parabolóide y = x 2   + z 2 , 0 ≤ y ≤ 1, vamos usar coordenadas polares no plano xz, então d x d z = r d r d θ , sendo x = r c o s θ , z = r s i n θ e y = r . Assim, como em coordenadas polares os limites para r e θ são 0 ≤ r ≤ 1 e 0 ≤ θ ≤ 2 π . Nossa integral se torna então

∫ ∫ S 1 ( 2 x y + 2 z 2   ) d σ = ∫ 0 2 π ∫ 0     1 ( 2 r c o s θ r - 2 r 2 s i n θ 2   ) r d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0     1 2 r 3 ( c o s θ - s i n θ 2   ) d r d θ

Resolvendo as integrais em θ

∫ 0 2 π ∫ 0     1 2 r 3 ( c o s θ - s i n θ 2   ) d r d θ = ∫ 0     1 2 r 3 [ ( s i n θ - 1 2 θ + 1 4 s i n 2 θ ) ] | 0 2 π d r = - ∫ 0     1 2 r 3 [ π ] d r

Agora resolvendo a integral em r

- ∫ 0     1 2 r 3 [ π ] d r = - 2 π [ r 4 r ] | 0 1 = - 2 π 4

então,

∫ ∫ S 1 F → ⋅ N →   d σ = - π 2

Passo 4

Agora vamos olhar para a superfície x 2   + z 2 ≤ , y=1. A expressão do vetor normal pode ser obtida pelo produto vetorial

N → = ∂ ϕ ( u , v ) ∂ u × ∂ ϕ ( u , v ) ∂ v

Escolhemos a seguinte parametrização

ϕ ( x , z ) = ( x , 1 , z ) .

Vamos calcular as derivadas e o produto vetorial:

N → = ∂ ϕ ( x , z ) ∂ x × ∂ ϕ ( x , z ) ∂ z = ( 1,0 , 0 ) × ( 0,0 , 1 ) .

Assim, obtemos que a normal é:

N → = ( 0 , - 1,0 ) .

Passo 5

Vamos começar a nossa integração! Saca só!

∫ ∫ S 2 F → ⋅ N →   d σ = ∫ ∫ S 2 ( y ,   0 ,   z ) . ( 0 , - 1,0 ) d σ = ∫ ∫ S 2 ( 0 ) d σ = 0

então a contribuição da superfície 2 é nula.

Assim,

∫ ∫ S F → ⋅ N →   d σ = - π 2

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

∫ ∫ S F → ⋅ N →   d σ = - π 2

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