Calcule

a ∫ ∫ S x d y ∧ d z + y d z ∧ d x + z d x ∧ d y , onde S é a parte do plano   x   +   y   +   z   =   2 no primeiro octante, orientada de modo que sua normal satisfaz N . → j → > 0 ;

Passo 1

Eaew, belezinha?

Precisamos calcular a integral de superfície

∫ ∫ S x d y ∧ d z + y d z ∧ d x + z d x ∧ d y

Temos que a notação com produto exterior pode ser escrita da seguinte forma:

∫ ∫ S x d y ∧ d z + y d z ∧ d x + z d x ∧ d y = ∫ ∫ S x ( i → ⋅ n → ) d y d x   +   y ( j → ⋅ n → ) d z   d x   + z ( k → ⋅ n → ) d x d y .

Temos então que:

∫ ∫ S x d y ∧ d z + y d z ∧ d x + z d x ∧ d y = ∫ ∫ S F → ( x , y , z ) . n → d S

sendo,

F → ( x , y , z ) = ( x ,   y ,   z )

e a superfície considerada é a parte no primeiro octante do plano

x + y + z = 2 .

Para resolver essa integral, vamos parametrizar a superfície e encontrar a sua normal. Vamos lá!

Passo 2

A expressão do vetor normal pode ser obtida através do seguinte produto vetorial

n → = ∂ ϕ ( u , v ) ∂ u × ∂ ϕ ( u , v ) ∂ v

em que ϕ ( u , v ) é uma parametrização da superfície, sendo essa

ϕ ( u , v ) = ( u , v , 2 - u - v )

Vamos calcular as derivadas e o produto vetorial:

n → = ∂ ϕ ( u , v ) ∂ u × ∂ ϕ ( u , v ) ∂ v = ( 1,0 , - 1 ) × ( 0,1 , - 1 ) .

Assim, obtemos que a normal é:

  n → = ( 1,1 , 1 )

Antes de ir para a integral, temos temos que escrever a função seguindo a parametrização e também calcular o produto escalar F → . n → .

Passo 3

Vamos escrever a função vetorial F → ( u ,   v ) :

F → ( x , y , z ) = ( x ,   y ,   z ) = ( u ,   v ,   2 - u - v ) .

Então agora podemos calcular o produto escalar:

F → ( x , y , z ) .   n → = ( u ,   v ,   2 - u - v ) . ( 1,1 , 1 )

F → ( x , y , z ) .   n → = ( u + v + 2 - u - v ) = 2 .

Agora vamos encontrar os limites de integração e partir para a integral.

Passo 4

A superfície considerada é o plano x + y + z = 2 . Para definir os limites de integração, considerando que estamos no primeiro octante, tomamos z=0 e olhando para o plano xy

temos que os limites para u e v são 0 ≤ u ≤ 2 e 0 ≤ v ≤ 2 - u . Nossa integral se torna então

∫ ∫ S F → ⋅ n → d S = ∫ 0 2 ∫ 0 2 - u 2 d v d u .

Passo 5

Vamos começar a nossa integração! Saca só!

Precisamos integrar primeiro em v , pois os limites de sua integral dependem de u :

∫ ∫ S F → ⋅ n → d S = ∫ 0 2 ∫ 0 2 - u 2 d v d u

temos que

∫ 0 2 ∫ 0 2 - u 2 d v d u = 2 ∫ 0 2 [ v | 0 2 - u ] d u = 2 ∫ 0 2 [ 2 - u - 0 ] d u = 2 ∫ 0 2 [ 2 - u ] d u

agora integrando em u , usando então uma série de integrais conhecidas, obtemos o resultado

2 ∫ 0 2 [ 2 - u ] d u = 2 ( 2 [ u | 0 2 ] - [ u 2 2 | 0 2 ] ) = 2 ( 2 [ 2 - 0 ] - [ 2 2 2 - 0 2 2 ] ) = 2 ( 4 - 4 2 ) = 4 .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

∫ ∫ S x d y ∧ d z + y d z ∧ d x + z d x ∧ d y = 4

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