Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial

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Enunciado

Seja S a parte do hiperboloide x 2 + z 2 - y 2 = 9 com z ≥ 0 , limitada por x 2 + y 2 = 4 , orientada com N → tal que N → . k → > 0 .

  1. Dê uma parametrização de S e uma expressão para o campo de vetores normais N → .
  2. Calcule ∬ S   F → . N →   d S , onde F → x , y , z = ( z , 2 z , x 2 ) .

Passo 1

Letra a)

Antes de tudo, vamos desenhar essa superfície, para entender melhor o que está acontecendo. Temos um hiperboloide de uma folha com simetria no eixo y :

Como o problema fala da parte da superfície do hiperboloide que se encontra acima do círculo de raio 2 , vamos trazer esse círculo para cima, até ele cortar a superfície vermelha:

Sacou? A superfície do problema é essa parte do hiperboloide que está dentro do cilindro azul.

Passo 2

Agora vamos parametrizar essa superfíce. Qual será a melhor maneira para parametrizar o paraboloide x 2 + z 2 - y 2 = 9 ? Vamos usar logo x e y como parâmetros, para ser mais simples:

φ x , y = ( x , y ,   9 + y 2 - x 2 )

Como vemos pela figura, o domínio D dessa superfície é a circunferência de raio 2 x 2 + y 2 = 4 , a projeção da região no plano x y , logo:

x 2 + y 2 ≤ 4

Passo 3

Agora temos que calcular a normal ∂ φ ∂ x × ∂ φ ∂ y

Temos:

∂ φ ∂ x = 1 ,   0 ,   - x 9 + y 2 - x 2

∂ φ ∂ y = ( 0,1 , y 9 + y 2 - x 2 )

∂ φ ∂ x × ∂ φ ∂ y = i ^ j ^ k ^ 1 0 - x 9 + y 2 - x 2 0 1 y 9 + y 2 - x 2 = x 9 + y 2 - x 2 ,   - y 9 + y 2 - x 2 , 1

Bom, como o problema diz que a normal aponta para cima N → . k → > 0 , e temos a coordenada z positiva nesse vetor, sabemos que é esse mesmo o que queremos.

Passo 4

Temos agora que normalizar aí, pois:

N → = ∂ φ ∂ x × ∂ φ ∂ y ∂ φ ∂ x × ∂ φ ∂ y

Temos

∂ φ ∂ x × ∂ φ ∂ y = x 2 9 + y 2 - x 2 + y 2 9 + y 2 - x 2 + 1

= x 2 + y 2 + 9 - x 2 + y 2 9 + y 2 - x 2 = 2 y 2 + 9 9 + y 2 - x 2

Logo, o campo que queremos é dado por:

N → = 1 2 y 2 + 9 9 + y 2 - x 2 x 9 + y 2 - x 2 ,   - y 9 + y 2 - x 2 , 1

N → = 1 2 y 2 + 9 x ,   - y , 9 + y 2 - x 2

Passo 5

Letra b)

Agora, para calcular essa integral, vamos usar a seguinte fórmula:

∬ S   F → . n → d S = ∬ D   F → φ x , y ∂ φ ∂ x × ∂ φ ∂ y d x d y

Aplicando os valores que nós temos:

∬ S   F → ⋅ n → d S = ∬ D   F → φ x , y . x 9 + y 2 - x 2 ,   - y 9 + y 2 - x 2 , 1 d x d y

Escrevendo o campo em função das variáveis da parametrização, temos:

F → x , y , z = ( z , 2 z , x 2 )

φ x , y = ( x , y ,   9 + y 2 - x 2 )

F → φ x , y = 9 + y 2 - x 2 ,   2 9 + y 2 - x 2 , x 2

A integral fica então

= ∬ D   9 + y 2 - x 2 ,   2 9 + y 2 - x 2 , x 2 . x 9 + y 2 - x 2 ,   - y 9 + y 2 - x 2 , 1 d x d y =

= ∬ D   x - 2 y + x 2 d x d y =

Passo 6

Beleza, agora precisamos escrever essa região D . Como se trata de uma circunferência x 2 + y 2 = 4 , vamos usar coordenadas polares:

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

J = r

Temos 0 ≤ r ≤ 2 e 0 ≤ θ ≤ 2 π . Aplicando na integral:

= ∫ 0 2 π ∫ 0 2 r cos ⁡ θ - 2 r   s e n   θ + r 2 cos 2 ⁡ θ r   d r d θ =

Integrando isso aí:

= ∫ 0 2 π ∫ 0 2 cos ⁡ θ - 2   s e n   θ r 2 + r 3 cos 2 ⁡ θ d r d θ =

= ∫ 0 2 π cos ⁡ θ - 2   s e n   θ r 3 3   + r 4 4 cos 2 ⁡ θ 0 2 d θ =

= ∫ 0 2 π 8 3 cos ⁡ θ - 2   s e n   θ   + 4 cos 2 ⁡ θ d θ =

Lembrando da relação:

cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ 2 θ 2

Temos:

= ∫ 0 2 π 8 3 cos ⁡ θ - 2   s e n   θ   + 2 + 2 cos ⁡ 2 θ d θ =

= 8 3 s e n   θ + 2 cos ⁡ θ + 2 θ + s e n   2 θ 0 2 π =

= 4 π

Resposta

  1. φ x , y = ( x , y ,   9 + y 2 - x 2 ) ; N → = 1 2 y 2 + 9 x ,   - y , 9 + y 2 - x 2
  2. 4 π

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