Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial

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Enunciado

23) Calcule

∬ S   F → ⋅ n →   d S

c) F → x ,   y ,   z = z + 3 x i → + z + 3 k → e S é a superfície do sólido limitado por z = 1 - y 2 , x = 0 , x = 2 e o plano x y , com n → exterior.

Passo 1

Vamos começar este problema vendo o que vamos fazer para chegar a solução do problema, ok? Inclusive isso é sempre sugerido: sempre coloque em primeiro o lugar o que você terá que fazer para chegar no resultado do problema. Fica a dica 😉!

∬ S   F → ⋅ n →   d S

No caso da integral de superfície, existem três coisinhas básicas:

1º - Parametrizar a superfície S .

2º - Encontrar o termo n → d S

3º - Trocar os termos da função F → pelos termos da parametrização.

Assim que você parametrizar, encontrar e trocar é só meter bronca na integral. Bora? 😊

Passo 2

A primeira coisa como vimos é parametrizar a superfície do problema. Mas antes: quem é a superfície S dada? Ora, se a gente desenhar conforme o enunciado nos pede chegamos na superfície...

Parece um pequeno bolo, não é? Como a superfície vermelha desse bolo é definida por:

z = 1 - y 2

Podemos parametrizar isso diretamente para:

σ x , y ,   z = x , y , 1 - y 2

Passo 3

Agora, a gente nunca deve terminar uma parametrização sem ao menos dizer onde estão variando os nossos parâmetros que no caso são x e y . Pro intervalo de x , temos direto do enunciado que:

0 ≤ x ≤ 2

Agora pros intervalos de y , basta a gente ver em quais valores de y a parte de cima do bolo toca o eixo Y . Pra isso, fazemos z = 0 :

z = 1 - y 2

0 = 1 - y 2

y 2 = 1

y = ± 1

E logo:

- 1 ≤ y ≤ 1

Passo 4

Ok, agora de acordo com o nosso roteiro láaaa do passo 1 , o que devemos fazer agora é encontrar o termo n → d S e que pode ser encontrado, fazendo:

n → d S = N →   d x d y

Onde N → é o vetor normal da superfície que a gente encontra assim oh (tendo a parametrização em mãos já heim 😉)

N → = ∂ σ ∂ x × ∂ σ ∂ y

Como

σ x , y ,   z = x , y , 1 - y 2

Então...

∂ σ ∂ x = 1 , 0 , 0

∂ σ ∂ y = 0 ,   1 ,   - 2 y

N → = i ^ j ^ k ^ 1 0 0 0 1 - 2 y

= ( 0 , 2 y , 1 )

Como queremos o vetor que está pra dentro, ou seja, apontando para o eixo... Então o termo n → d S fica sendo...

n → d S = ( 0 , 2 y , 1 ) d x d y

Passo 5

Agora vamos pra terceira etapa, que é Trocar os termos da função F → pelos termos da parametrização. Seja:

F → x ,   y ,   z = z + 3 x i → + z + 3 k →

F → x ,   y ,   z = z + 3 x ,   0 , z + 3

Vamos ter:

F → x ,   y ,   z = z + 3 x ,   0 , z + 3

F → σ x , y = 1 - y 2 + 3 x ,   0 , 1 - y 2 + 3

F → σ x , y = 1 - y 2 + 3 x ,   0 ,   4 - y 2

Passo 6

Prontinho 😊! Agora basicamente temos que voltar para a integral de superfície:

∬ S   F → ⋅ n →   d S

E trocar todos os três caras que descobrimos, onde S é substituído pela variação dos parâmetros, desse jeito aqui oh:

∬ S   F → ⋅ n →   d S = ∫ - 1 1 ∫ 0 2 1 - y 2 + 3 x ,   0 ,   4 - y 2 ⋅   0 , 2 y , 1 d x d y =

∬ S   F → ⋅ n →   d S = ∫ - 1 1 ∫ 0 2 4 - y 2   d x d y

E integrando:

∬ S   F → ⋅ n →   d S = ∫ - 1 1 x 4 - y 2 x = 0 x = 2 d y = 2 ∫ - 1 1 4 - y 2 d y

∬ S   F → ⋅ n →   d S = 2 4 y - y 3 3 y = - 1 y = 1

∬ S   F → ⋅ n →   d S = 2 4 - 1 3 - - 4 + 1 3 = 2 8 - 2 3 = 2 24 - 2 3 = 44 3

∬ S   F → ⋅ n →   d S = 44 3

Resposta

44 3

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