1. Explicite duas estratégias para calcular ∫ C F ∙ d r , onde F x , y =   < x 3 + x y 2 ,   y x 2 + y 3 + 3 x > e C a fronteira da região D = { x 2 9 + y 2 4 ≤ 1 }

Passo 1

Primeiro vamos dar uma olhada em D e visualizar a região C.

A região C é a a fronteira dessa figura tridimensional.

Passo 2

Uma forma de resolver essa integração é utilizar a relação

∫ C F x , y , z ∙ d r = ∫ a b F x t , y t , z t ∙ r t d t

E utilizarmos coordenadas elípticas:

x = a r cos ⁡ θ

y = b r sin ⁡ θ

Passo 3

Outra forma de resolvermos esse problema é utilizando o nosso querido Teorema de Green, que diz

∮ ∂ D F 1 d x + F 2 d y = ∬ D ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y

Resposta

Ver o desenvolvimento.

Exercícios de Livros Relacionados

Avalie a integral de superfície ∬ S F → ⋅ d S → para o campo vetorial dado F → e a superfície orientada S . Em outras palavras, localize o fluxo de F através deS . Para superfícies fechadas, use a ori
Calcule a integral de superfície ∫ ∫ SF ∙ d S para o campo vetorial F e superfície orientada S . Em outras palavras, determine o fluxo de F através de S . Para superfícies fechadas, use a orientação p
Calcule a integral de superfície ∫ ∫ SF ∙ d S para o campo vetorial F e superfície orientada S . Em outras palavras, determine o fluxo de F através de S . Para superfícies fechadas, use a orientação p
A temperatura de um ponto da bola com condutividade K é inversamente proporcional à distância do centro da bola. Determine a taxa de transmissão de calor através de uma esfera S de raio a e centro da
Determine uma fórmula para ∬ S F → ⋅ d S → semelhante à fórmula 10 para o caso onde S é dado por y = h ( x , z ) e n → é o vetor normal unitário que aponta para a esquerda.