Calcule o fluxo de F → x , y , z = x i → + y j → - 2 z k → , através da superfície S , parte do cilindro x 2 + y 2 = 2 x , limitado pelo plano z = 0 e pelo cone z = x 2 + y 2 , com vetor normal apontando para fora de S .

Passo 1

A primeira coisa que temos que fazer é parametrizar esse cilindro que ele deu,

x 2 + y 2 = 2 x

Antes, reorganizar essa equação do cilindro aqui:

x 2 - 2 x + 1 + y 2 = 1

x - 1 2 + y 2 = 1

Veja que temos um cilindro deslocado da origem, certo? Sua parametrização fica assim

φ t , θ = 1 + cos ⁡ θ , sen ⁡ θ , t

θ ∈ 0,2 π

Mas e o t ? Ele deu uma restrição meio louca ali, como vamos fazer essa restrição? Repara que o valor de z vai de 0 até o cone, ou seja,

0 ≤ t ≤ x 2 + y 2

0 ≤ t ≤ 1 + cos ⁡ θ 2 + sen ⁡ θ 2

Dando uma arrumadinha nisso vamos ter

1 + cos ⁡ θ 2 + sen ⁡ θ 2

⇒ 1 + 2 cos ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ

⇒ 1 + 2 cos ⁡ θ + 1

⇒ 2 + 2 cos ⁡ θ

0 ≤ t ≤ 2 + 2 cos ⁡ θ

Passo 2

A Integral vai ser

ϕ = ∬ S F → ∙ n → d S

Temos que achar o nosso vetor normal

N t , θ = i j k ∂ φ x ∂ t ∂ φ y ∂ t ∂ φ z ∂ t ∂ φ x ∂ θ ∂ φ y ∂ θ ∂ φ z ∂ θ

Nossa superfície é essa aqui, portanto

φ t , θ = 1 + cos ⁡ θ , sen ⁡ θ , t

N t , θ = i j k 0 0 1 - sen ⁡ θ cos ⁡ θ 0

N t , θ = 0 i + - sen ⁡ θ j + 0 k - 0 k - 0 j - cos ⁡ θ i

N t , θ = - cos ⁡ θ i + - sen ⁡ θ j + 0 k

Com essa orientação a parada vai ficar com i e j negativos, mas ele quer que fique para fora, então basta trocarmos os sinais do vetor normal

N t , θ = cos ⁡ θ i + sen ⁡ θ j + 0 k

Passo 3

A nossa integral vai ficar

ϕ = ∬ S F → ∙ n → d S = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 + 2 cos ⁡ θ 1 + cos ⁡ θ , sen ⁡ θ , - 2 t ∙ cos ⁡ θ , sen ⁡ θ , 0 d t d θ

⇒ ∫ 0 2 π ∫ 0 2 + 2 cos ⁡ θ cos ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ d t d θ

⇒ ∫ 0 2 π ∫ 0 2 + 2 cos ⁡ θ cos ⁡ θ + 1 d t d θ

⇒ ∫ 0 2 π cos ⁡ θ + 1 2 + 2 cos ⁡ θ d θ

⇒ ∫ 0 2 π cos ⁡ θ + 1 2 1 + cos ⁡ θ d θ

⇒ ∫ 0 2 π 2 1 + cos ⁡ θ 3 d θ

Lembrando que

1 + cos ⁡ θ = 2 cos 2 ⁡ θ 2

A integral vai ficar

⇒ ∫ 0 2 π 2 2 cos 2 ⁡ θ 2 3 d θ

⇒ ∫ 0 2 π 16 cos 2 ⁡ θ 2 3 d θ

⇒ 4 ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ θ 2 3 d θ

Quando formos fazer essa raiz devemos ficar atento aos limites de integração, quando estivermos de 0 à π essa parada é positiva, e de π à 2 π essa raiz é negativa, isso porque quando tiramos a raiz de um cara ao quadrado pegamos o módulo dele. A integral vai ficar

⇒ 4 ∫ 0 π cos 3 ⁡ θ 2 d θ - ∫ π 2 π cos 3 ⁡ θ 2 d θ

Tudo se resume a fazer essa integral do cosseno

Passo 4

Vamos resolver

∫ cos 3 ⁡ θ 2 d θ

Primeiro vamos fazer

θ 2 = a

d θ 2 = d a

d θ = 2 d a

A integral vai ficar

∫ cos 3 ⁡ θ 2 d θ = 2 ∫ cos 3 ⁡ a d a

Agora vamos ter

2 ∫ cos 3 ⁡ a d a = 2 ∫ cos 2 ⁡ a cos ⁡ a d a = 2 ∫ 1 - sen 2 ⁡ a cos ⁡ a d a

Vamos fazer

sen ⁡ a = u

d u = cos ⁡ a d a

A integral fica

2 ∫ 1 - sen 2 ⁡ a cos ⁡ a d a = 2 ∫ 1 - u 2 d u

2 ∫ 1 - u 2 d u = 2 u - u 3 3

Voltando para a

2 u - u 3 3 = 2 sen ⁡ a - sen 3 ⁡ a 3

Agora voltando para θ

2 sen ⁡ a - sen 3 ⁡ a 3 = 2 sen ⁡ θ 2 - sen 3 ⁡ θ 2 3

Passo 5

Vamos voltar agora para a integral do passo 3

⇒ 4 ∫ 0 π / 2 cos 3 ⁡ θ 2 d θ + ∫ 3 π / 2 2 π cos 3 ⁡ θ 2 d θ - ∫ π / 2 3 π / 2 cos 3 ⁡ θ 2 d θ

Vai ficar

⇒ 4 2 sen ⁡ θ 2 - sen 3 ⁡ θ 2 3 0 π - 2 sen ⁡ θ 2 - sen 3 ⁡ θ 2 3 π 2 π

⇒ 8 sen ⁡ θ 2 - sen 3 ⁡ θ 2 3 0 π - sen ⁡ θ 2 - sen 3 ⁡ θ 2 3 π 2 π

⇒ 8 sen ⁡ π 2 - sen 3 ⁡ π 2 3 - sen ⁡ 0 2 - sen 3 ⁡ 0 2 3 - sen ⁡ 2 π 2 - sen 3 ⁡ 2 π 2 3 - sen ⁡ π 2 - sen 3 ⁡ π 2 3

⇒ 8 1 - 1 3 - 0 - 0 - 0 - 0 - 1 - 1 3

⇒ 8 2 3 - 0 - 0 - 2 3

⇒ 8 2 3 + 2 3

⇒ 8 4 3

⇒ 32 3

Resposta

32 3

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