Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial

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Enunciado

Seja S a superfície de revolução obtida girando a curva C , definida pela equação

y = e x ,             x ∈ [ 0,1 ]

Em torno do eixo O X com vetor normal apontando para o lado do eixo de revolução. Calcule o fluxo do campo vetorial

F → x , y , z = x z 2 + y 2 , y , z

Através da superfície de revolução S .

Passo 1

O problema nos pede o seguinte:

∬ S   F . n d S

Então, antes de tudo, vamos descobrir quem é S . Podemos parametrizar a curva que gera S como:

γ x = x , e x ,           x ∈ [ 0,1 ]

Lembra daquele macete para parametrizar superfície de revolução?

Sendo γ uma curva do plano x y parametrizada por γ x , a parametrização da superfície gerada quando rotacionamos γ em torno do eixo x é:

φ θ , x = x x ,   y x cos ⁡ θ , y x sen ⁡ θ

φ θ , x = x ,   e x cos ⁡ θ , e x sen ⁡ θ

Em resumo: a variável x , paralela ao eixo de rotação não se altera: x = x ( t ) .

As outras duas variáveis serão escritas em função de y ( x ) , a coordenada da parametrização da curva que nos restou. Como y é pertencente ao plano da curva, apresentará cos ⁡ θ ; e z , não pertencente, apresentará sen ⁡ θ .

Como temos uma volta completa:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Foi?

Passo 2

Agora nós precisamos da normal a S :

φ θ , x = x ,   e x cos ⁡ θ , e x sen ⁡ θ

∂ φ ∂ x = 1 ,   e x cos ⁡ θ , e x sen ⁡ θ

∂ φ ∂ θ = 0 ,   - e x s e n   θ , e x cos ⁡ θ

∂ φ ∂ x × ∂ φ ∂ θ = i j k 1 e x cos ⁡ θ e x sen ⁡ θ 0 - e x s e n   θ e x cos ⁡ θ = e 2 x , - e x cos ⁡ θ , - e x s e n   θ

Agora imagine essa curva girando em torno do eixo O X :

Para a normal apontar para esse eixo, ou seja, para dentro de S , a componente x da nomal deve ser positiva, percebeu? Isso porque a normal deve estar inclinada para a direita no gráfico.

Então, sabemos que o vetor que queremos é o mesmo que encontramos.

Passo 3

Vamos, então, usar a fórmula:

∬ S   F → . n → d S = ∬ D   F → φ x , θ . ∂ φ ∂ θ × ∂ φ ∂ x d x d θ

F → φ x , θ = x e 2 x , e x cos ⁡ θ , e x sen ⁡ θ

Isso nos dá

= ∫ 0 2 π ∫ 0 1 x e 2 x , e x cos ⁡ θ , e x sen ⁡ θ . e 2 x , - e x cos ⁡ θ , - e x s e n   θ d x d θ =

= ∫ 0 2 π ∫ 0 1 x - e 2 x cos 2 ⁡ θ - e 2 x s e n 2 θ d x d θ =

= ∫ 0 2 π ∫ 0 1 x - e 2 x d x d θ =

= ∫ 0 2 π x 2 2 - 1 2 e 2 x 0 1 d θ =

= ∫ 0 2 π 1 2 - 1 2 e 2 - 0 - 1 2 d θ

= ∫ 0 2 π 1 - e 2 2 d θ

= π 2 - e 2

Resposta

π 2 - e 2

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