2. Calcule a integral de superfície ∫ ∫ S F . d S para o campo vetorial F e superfície orientada S . Em outras palavras, determine o fluxo de F através de S . Para superfícies fechadas, use a orientação (para fora) positiva.

c) F x , y , z = x i - z j + y k , S é a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 no primeiro octante com orientação para a origem.

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nessa questão temos uma integral de superfície em um caso vetorial!

Temos que determinar o fluxo dado por F através de S , onde F x , y , z = x i - z j + y k e S é a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 que está contida no primeiro octante e orientada para a origem.

Tem ideia de como podemos resolver essa questão?? 🤔🤔

Esses casos são obtidos usando uma formulinha dada por

∫ ∫ S F · N d A

O que temos que fazer é parametrizar S , calcular seu vetor normal N , aplicar a parametrização em F , obter os limites de integração e calcular a integral.

Parece simples? Vamos começar? 😁

Passo 2

Primeiro vamos parametrizar a superfície S . Como S é uma esfera, podemos lembrar das coordenadas esféricas onde fazíamos as seguintes mudanças

x = ρ s e n ϕ cos ⁡ θ y = ρ s e n ϕ s e n θ z = ρ cos ⁡ ϕ

Com ρ sendo o raio da esfera.

Como nossa esfera foi dada e podemos ver que seu raio é 2 , já que x 2 + y 2 + z 2 = ρ 2

Logo temos a seguinte parametrização

x = 2 s e n ϕ cos ⁡ θ y = 2 s e n ϕ s e n θ z = 2 cos ⁡ ϕ

Ou também

P ϕ , θ = 2 s e n ϕ cos ⁡ θ , 2 s e n ϕ s e n θ , 2 cos ⁡ ϕ

Derivando P com relação a ϕ , a θ e calculando o produto vetorial entre eles, vamos obter o vetor normal N .

Primeiro derivamos com relação a ϕ

∂ P ∂ ϕ = ∂ 2 s e n ϕ cos ⁡ θ , 2 s e n ϕ s e n θ , 2 cos ⁡ ϕ ∂ ϕ

Lembrando do teorema fundamental do cálculo temos que as derivadas do s e n = c o s e c o s = - s e n

∂ P ∂ ϕ = 2 c o s ϕ cos ⁡ θ , 2 c o s ϕ s e n θ , - 2 sen ⁡ ϕ

Faremos o mesmo com relação a θ

∂ P ∂ θ = ∂ 2 s e n ϕ cos ⁡ θ , 2 s e n ϕ s e n θ , 2 cos ⁡ ϕ ∂ θ

Pelo teorema fundamental do cálculo, temos

∂ P ∂ θ = - 2 s e n ϕ sen ⁡ θ , 2 s e n ϕ c o s θ , 0

Tudo bem até aqui? 👀

Passo 3

Agora vamos calcular o vetor normal a S obtendo o produto vetorial de ∂ P ∂ θ X ∂ P ∂ ϕ .

N = ∂ P ∂ θ X ∂ P ∂ ϕ = i j k - 2 s e n ϕ sen ⁡ θ 2 s e n ϕ c o s θ 0 2 c o s ϕ cos ⁡ θ 2 c o s ϕ s e n θ - 2 sen ⁡ ϕ

Calculando esse determinante, temos que

N = - 4 s e n 2 ϕ c o s θ , 4 s e n 2 ϕ sen ⁡ θ , - 4 s e n ϕ c o s ϕ sen 2 ⁡ θ - 4 s e n ϕ c o s ϕ c o s 2 θ

Se colocarmos - 4 s e n ϕ c o s ϕ em evidencia no último termo, temos

- 4 s e n ϕ c o s ϕ sen 2 ⁡ θ + c o s 2 θ

Sabemos que sen 2 ⁡ θ + c o s 2 θ = 1 , logo podemos simplificar N

N = - 4 s e n 2 ϕ c o s θ , 4 s e n 2 ϕ sen ⁡ θ , - 4 s e n ϕ c o s ϕ

Agora vamos aplicar nossa parametrização em F

F x , y , z = x i - z j + y k

Transformando para F ϕ , θ

F ϕ , θ = 2 s e n ϕ cos ⁡ θ , - 2 cos ⁡ ϕ , 2 s e n ϕ s e n θ

Calculando o produto interno entre F ϕ , θ e N , temos

F ϕ , θ · N = 2 s e n ϕ cos ⁡ θ , - 2 cos ⁡ ϕ , 2 s e n ϕ s e n θ · - 4 s e n 2 ϕ c o s θ , 4 s e n 2 ϕ sen ⁡ θ , - 4 s e n ϕ c o s ϕ

Calculando o produto de cada termo ( i com i , j com j ...) e somando-os

F ϕ , θ · N = - 8 s e n 3 ϕ cos 2 ⁡ θ - 16 s e n 2 ϕ cos ⁡ ϕ sen ⁡ θ

Está acompanhando? 😉

Passo 4

No enunciado, foi dito que estamos interessados em S , no primeiro octante

Lembrando das coordenadas esféricas

Quais os valores para ϕ e θ descrevem a parte de uma esfera dentro do primeiro octante?

Para θ , a variação que pode ser feita é de 0 a π / 2 , até porque menos ou mais que isso, caímos em outros octantes.

Da mesma forma para ϕ , o primeiro octante está contido entre 0 ≤ ϕ ≤ π 2 .

Com isso, definimos os limites para ϕ e para θ como

0 ≤ θ ≤ π 2 0 ≤ ϕ ≤ π 2

Com essas informações podemos montar nossa integral como

∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 - 8 s e n 3 ϕ cos 2 ⁡ θ - 16 s e n 2 ϕ cos ⁡ ϕ sen ⁡ θ d ϕ d θ

Ficou enorme, não é? Mas relaxa, vamos com calma.

Vamos separar a integral da soma pela soma da integral

I   ∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 - 8 s e n 3 ϕ cos 2 ⁡ θ d ϕ d θ

I I   ∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 - 16 s e n 2 ϕ cos ⁡ ϕ sen ⁡ θ d ϕ d θ

Calculamos as integrais I e I I e somamos os resultados.

Primeiro vamos resolver a integral I

Vamos integrar com relação a ϕ , então o que não conter ϕ pode sair da integral

- 8 cos 2 ⁡ θ ∫ s e n 3 ϕ d ϕ

Podemos reescrever s e n 3 ϕ como s e n ϕ s e n 2 ϕ . Mas o que é s e n 2 ϕ ? Podemos reescreve-lo como 1 - c o s 2 ϕ

Dessa forma, nossa nova integral é

- 8 cos 2 ⁡ θ ∫ s e n ϕ 1 - c o s 2 ϕ d ϕ

Assim podemos aplicar o método de integração por substituição u d u fazendo u = cos ⁡ ϕ , com isso d u = - s e n ϕ

Entendeu essa parte? 🤔

Passo 5

Portanto, nossa integral será

- 8 cos 2 ⁡ θ ∫ - 1 - u 2 d u

Tirando o sinal para fora e aplicando o método de integração polinomial, temos

8 cos 2 ⁡ θ ∫ 1 - u 2 d u = 8 cos 2 ⁡ θ u - u 2 + 1 2 + 1

8 cos 2 ⁡ θ ∫ 1 - u 2 d u = 8 cos 2 ⁡ θ u - u 3 3

Substituindo u por cos ⁡ ϕ de volta

∫ - 8 cos 2 ⁡ θ s e n 3 ϕ d ϕ = 8 cos 2 ⁡ θ cos ⁡ ϕ - cos 3 ⁡ ϕ 3

Aplicando os limites de integração

∫ 0 π 2 - 8 s e n 3 ϕ cos 2 ⁡ θ d ϕ = 8 cos 2 ⁡ θ cos ⁡ π 2 - cos 3 ⁡ π 2 3 - cos ⁡ 0 - cos 3 ⁡ 0 3

∫ 0 π 2 - 8 s e n 3 ϕ cos 2 ⁡ θ d ϕ = 8 cos 2 ⁡ θ - 1 - 1 3

Logo a primeira integral é

∫ 0 π 2 - 8 s e n 3 ϕ cos 2 ⁡ θ d ϕ = 8 cos 2 ⁡ θ - 2 3

Agora com base nesse resultado, integramos com relação a θ

∫ 8 cos 2 ⁡ θ - 2 3 d θ

Aplicando identidades trigonométricas, temos

∫ 4 1 + cos ⁡ 2 θ - 2 3 d θ

Separando essa integral, temos

∫ 4 d θ + ∫ cos ⁡ 2 θ d θ - ∫ 2 3 d θ

Pelo método de substituição u d u sendo u = 2 θ e d u 2 = d θ

∫ 4 d θ + ∫ cos ⁡ u 2 d θ - ∫ 2 3 d θ

Pelo teorema fundamenta do cálculo, temos

∫ 4 d θ + ∫ cos ⁡ u 2 d θ - ∫ 2 3 d θ = 4 θ - s e n u 2 - 2 θ 3

Substituindo u por 2 θ de volta, finalmente, temos

∫ 8 cos 2 ⁡ θ - 2 3 d θ = 4 θ - s e n 2 θ 2 - 2 θ 3

Ta achando tranquilo? 👀

Passo 6

Aplicando os limites de integração no resultado anterior, temos

∫ 0 π 2 8 cos 2 ⁡ θ - 2 3 d ϕ = 4 π 2 - s e n 2 π 2 2 - 2 π 2 3 - 4 0 - s e n 2 0 2 - 2 0 3

Enfim, temos nossa primeira integral

∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 - 8 s e n 3 ϕ cos 2 ⁡ θ d ϕ d θ = - 4 π 3

Agora vamos para a segunda integral! A integral I I

∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 - 16 s e n 2 ϕ cos ⁡ ϕ sen ⁡ θ d ϕ d θ

Primeiro integrando com relação a ϕ , podemos escrever nossa integral como

- 16 sen ⁡ θ ∫ s e n 2 ϕ cos ⁡ ϕ d ϕ

Vamos aplicar o método de substituição u d u fazendo u como s e n ϕ e d u como cos ⁡ ϕ

- 16 sen ⁡ θ ∫ u 2 d u

Aplicando o método de integração polinomial, temos

- 16 sen ⁡ θ ∫ u 2 d u = - 16 sen ⁡ θ u 2 + 1 2 + 1

- 16 sen ⁡ θ ∫ u 2 d u = - 16 sen ⁡ θ u 3 3

Voltando u para s e n ϕ

- 16 sen ⁡ θ ∫ s e n 2 ϕ cos ⁡ ϕ d ϕ = - 16 sen ⁡ θ s e n 3 ϕ 3

Aplicando os limites de integração

∫ 0 π 2 - 16 s e n 2 ϕ cos ⁡ ϕ sen ⁡ θ d ϕ = - 16 sen ⁡ θ s e n 3 π 2 3 - - 16 sen ⁡ θ s e n 3 0 3

∫ 0 π 2 - 16 s e n 2 ϕ cos ⁡ ϕ sen ⁡ θ d ϕ = - 16 sen ⁡ θ 3

Ao pouquinho vamos chegando lá!

Passo 7

Integrando o resultado anterior com relação a θ , temos

∫ - 16 sen ⁡ θ 3 d θ

Pelo teorema fundamental do cálculo, temos

∫ - 16 sen ⁡ θ 3 d θ = - 16 3 cos ⁡ θ

Aplicando os limites de integração

∫ 0 π 2 - 16 sen ⁡ θ 3 d θ = - 16 3 cos ⁡ π 2 - - 16 3 cos ⁡ 0

Assim conseguimos mais um resultado

∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 - 16 s e n 2 ϕ cos ⁡ ϕ sen ⁡ θ d ϕ d θ = 16 3

Como obtemos os resultados de I e I I vamos soma-los para obter a resposta final

∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 - 8 s e n 3 ϕ cos 2 ⁡ θ - 16 s e n 2 ϕ cos ⁡ ϕ sen ⁡ θ d ϕ d θ = 16 3 - 4 π 3

Deu um trabalhinho né? Mas obtemos que o fluxo F pela nossa região S é 16 3 - 4 π 3 !

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 - 8 s e n 3 ϕ cos 2 ⁡ θ - 16 s e n 2 ϕ cos ⁡ ϕ sen ⁡ θ d ϕ d θ = 16 3 - 4 π 3

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