5 Considere, novamente, o campo F → = x i → + y j → - 2 z k → . Seja B a esfera x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 , calcule ∬   F → ∙ n → d S , em que S é a fronteira de B , com n → apontando para fora de B .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nessa questão, queremos obter o fluxo de F → através de uma superfície B definida por x 2 + y 2 + z 2 = 4 .

Como podemos resolver esse problema? 👀

Para nos auxiliar nesse problema, podemos aplicar o teorema de Gauss que nos diz que o fluxo de um campo que passa em uma superfície fechada é obtida a partir da integral do seu divergente.

Dado um campo F = a , b , c , seu divergente pode ser obtido como

D i v F = ∂ a ∂ x + ∂ b ∂ y + ∂ c ∂ z

Sacou? Bora começar! 😊

Passo 2

No nosso caso, o fluxo é dado por

F → = x i → + y j → - 2 z k →

Portanto, seu divergente é obtido como

D i v F = ∂ x ∂ x + ∂ y ∂ y + ∂ - 2 z ∂ z

D i v F = 1 + 1 - 2

D i v F = 0

Montando nosso problema a partir do teorema de Gauss, temos

∬ S F → · N → d S = ∭ V D i v F d V

Como o divergente de F é 0 e a superfície B já é uma superfície fechada, temos que pelo teorema...

∬ S F → · N → d S = ∭ V 0 d V

∬ S F → · N → d S = 0

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

∬ S F → · N → d S = 0

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