Calcule a integral de superfície ∫ ∫ S F → ⋅ N → d σ para cada um dos campos de vetores F → e superfícies orientadas S indicadas abaixo. Em outras palavras, calcule o fluxo de F → através de S . Quando S é uma superfície fechada, admita que S está orientada pela normal exterior.

( i ) F → ( x , y , z ) = - y z   i →   e S é a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 exterior ao cilindro x 2 + y 2 ≤ 1 , orientada de modo que a normal no ponto ( 2,0 , 0 ) é i → ;

Passo 1

Eaew, belezinha?

Nós temos que calcular a seguinte integral de superfície

∫ ∫ S F → ⋅ N → d σ

para esta alternativa, temos o seguinte campo vetorial

F → ( x , y , z ) = - y z   i →  

e a nossa superfície é a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 que é exterior ao cilindro x 2 + y 2 ≤ 1 , orientada de forma que ponto ( 2,0 , 0 ) , o vetor normal é identificado como i → . Vamos tentar resolver esta questão através da seguinte identificação

∫ ∫ S F → ⋅ N → d σ = ∫ u 0 u f ∫ v 0 v f F → [ u , v ] ⋅ [ ∂ σ ∂ u × ∂ σ ∂ v ]   d u   d v

em que temos σ ( u , v ) uma parametrização de nossa superfície! Bora lá!

Passo 2

Primeiro é interessante visualizarmos a nossa superfície, temos que

é como se você cavasse um buraco cilindro dentro de uma esfera! A parametrização da esfera pode ser feita utilizando coordenadas esféricas, em que

σ ( θ , ϕ ) = [ 2   c o s ( θ )   s e n ( ϕ ) ,   2   s e n ( θ )   s e n ( ϕ ) ,   2   c o s ( ϕ ) ]

calculando as derivadas parciais em relação a θ e ϕ , temos que

∂ ∂ θ [ σ ( θ , ϕ ) ] = [ - 2   s e n ( θ )   s e n ( ϕ ) ,   2   c o s ( θ )   s e n ( ϕ ) ,   0 ]

e, as derivadas parciais em relação a ϕ são da forma

∂ ∂ ϕ [ σ ( θ , ϕ ) ] = [ 2   c o s ( θ )   c o s ( ϕ ) ,   2   s e n ( θ )   c o s ( ϕ ) , - 2   s e n ( ϕ ) ]

Usando a definição matricial de produto vetorial, podemos calcular o produto vetorial entre eles como

∂ σ ∂ u × ∂ σ ∂ v = - 4 s e n 2 ( ϕ ) c o s ( θ ) i → + 4   s e n 2 ( ϕ ) s e n ( θ ) j → - 4   s e n ( ϕ ) c o s ( ϕ ) k →

Esse é o vetor normal, no ponto ( 2,0 , 0 ) , que ocorre quando o ângulo polar θ = 0 e o ângulo ϕ = π / 2 , temos que

∂ σ ∂ u × ∂ σ ∂ v = - 4 s e n 2 ( ϕ ) c o s ( θ ) i → + 4   s e n 2 ( ϕ ) s e n ( θ ) j → - 4   s e n ( ϕ ) c o s ( ϕ ) k → = - 4   i →

portanto, este vetor está apontando para dentro da esfera, o que desejamos deve apontar para fora, portanto, vamos utilizar o vetor

n → = 4 s e n 2 ( ϕ ) c o s ( θ ) i → - 4   s e n 2 ( ϕ ) s e n ( θ ) j → + 4   s e n ( ϕ ) c o s ( ϕ ) k →

Vamos aplicar isso em nossa integral de superfície! Vem comigo!

Passo 3

Primeiro, vamos escrever o nosso campo vetorial nas coordenadas da nossa parametrização, temos que

F → [ θ , ϕ ] = - ( 2   s e n ( θ )   s e n ( ϕ ) ) ( 2   c o s ( ϕ ) ) i → = - 4 s e n ( θ ) s e n ( ϕ ) c o s ( ϕ )   i →

fazendo o produto escalar com o nosso vetor normal, temos que

F → [ θ , ϕ ] ⋅ n → = - 16   s e n 3 ( ϕ ) c o s ( ϕ ) s e n ( θ ) c o s ( θ )

a nossa integral é tal que

- 16 ∫ ∫ S s e n 3 ( ϕ ) c o s ( ϕ ) s e n ( θ ) c o s ( θ ) d θ d ϕ

mas quais são os limites de integração? Os limites de θ são simplesmente 0 ≤ θ ≤ 2 π , agora, os limites para ϕ podem ser obtidos fazer a interseção do cilindro e da esfera em coordenadas esféricas, temos que

1 + 4 c o s 2 ( ϕ ) = 4

que resulta em

c o s 2 ( ϕ ) = 3 4

portanto, temos que o ângulo é tal que

c o s ( ϕ ) = ± 3 2

Portanto, temos que ϕ = π / 6 , como eles se interceptam duas vezes, temos que os limites de ϕ são dados por π / 6 ≤ ϕ ≤ π / 2 + π / 6 = 2 π / 3 . A integral é então dada por

- 16 ∫ π / 6 2 π / 3 ∫ 0 2 π s e n 3 ( ϕ ) c o s ( ϕ ) s e n ( θ ) c o s ( θ ) d θ d ϕ

Vamos começar a resolver agora! Vem comigo!

Passo 4

Aqui é bastante direto, podemos integrar qualquer variável primeiro, começando por θ , temos que

∫ 0 2 π s e n ( θ ) c o s ( θ ) d θ

fazendo a mudança de variáveis

u =   s e n ( θ ) e d u = c o s ( θ ) d θ

obtemos que u ( 0 ) = 0 e u ( 2 π ) = 0 , portanto, a nossa integral tem a forma

∫ 0 2 π s e n ( θ ) c o s ( θ ) d θ = ∫ 0 0 u   d u = 0

já que os limites são iguais! Isso resolve a nossa questão, pois temos que

∫ ∫ S F → ⋅ N → d σ = - 16 ∫ π / 6 2 π / 3 ∫ 0 2 π s e n 3 ( ϕ ) c o s ( ϕ ) s e n ( θ ) c o s ( θ ) d θ d ϕ = 0

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

∫ ∫ S F → ⋅ N → d σ = 0

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