Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial

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Enunciado

23) Calcule

∬ S   F → ⋅ n →   d S

j) F → x ,   y ,   z = x - y ,   x + y ,   z e S : x 2 + y 2 = a 2 , z > 0 , 0 ≤ z ≤ h , com n → exterior.

Passo 1

Vamos começar este problema vendo o que vamos fazer para chegar a solução, ok? Inclusive isso é sempre sugerido: sempre coloque em primeiro o lugar o que você terá que fazer para chegar no resultado do problema. Fica a dica 😉!

∬ S   F → ⋅ n →   d S

No caso da integral de superfície, existem três coisinhas básicas:

1º - Parametrizar a superfície S .

2º - Encontrar o termo n → d S

3º - Trocar os termos da função F → pelos termos da parametrização.

Assim que você parametrizar, encontrar e trocar é só meter bronca na integral. Bora? 😊

Passo 2

A primeira coisa como vimos é parametrizar a superfície do problema. Mas antes: quem é a superfície S dada? Ora, se a gente desenhar conforme o enunciado nos pede chegamos na superfície...

E é ela quem queremos parametrizar! A superfície é um pedaço de um cilindro de raio a (uma constante). Parametrizar isso pode ser feito com as coordenadas cilíndricas dessa forma aqui

x = a cos ⁡ θ

y = a sin ⁡ θ

z = z

A parametrização final então é:

σ θ ,   z = a cos ⁡ θ , a sin ⁡ θ , z  

Note que a não é parâmetro. Ele é o raio do cilindro e tem um valor fixo (finge ser ele por exemplo, o valor 2 ).

Passo 3

Agora, a gente nunca deve terminar uma parametrização sem ao menos dizer onde estão variando os nossos parâmetros que no caso são θ E z .

θ está variando de 0 até 360   ° pois dando uma volta completa:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Enquanto o z ...

0 ≤ z ≤ h

Passo 4

Ok, agora de acordo com o nosso roteiro láaaa do passo 1 , o que devemos fazer agora é encontrar o termo n → d S e que pode ser encontrado, fazendo:

n → d S = N →   d z d θ

Onde N → é o vetor normal da superfície que a gente encontra assim oh (tendo a parametrização em mãos já heim 😉)

N → = ∂ σ ∂ z × ∂ σ ∂ θ

Como

σ θ ,   z = a cos ⁡ θ , a sin ⁡ θ , z  

Então...

∂ σ ∂ θ = - a sen ⁡ θ , a cos ⁡ θ , 0

∂ σ ∂ z = 0 ,   0 ,   1

N → = i j k - a sen ⁡ θ a cos ⁡ θ 0 0 0 1

= ( a cos ⁡ θ , a sen ⁡ θ , 0 )

Como queremos o vetor que está pra fora, esse é o vetor correto!

n → d S = a cos ⁡ θ , a sen ⁡ θ , 0   d θ d z

Passo 5

Ótimo, agora vamos simplesmente trocar os termos da função F → , pelos termos da parametrização, dessa forma aqui oh:

F → x ,   y ,   z = x - y ,   x + y ,   z

Como

x = a cos ⁡ θ

y = a sin ⁡ θ

z = z

F → σ z ,   θ = a cos ⁡ θ - a sin ⁡ θ ,   a cos ⁡ θ + a sin ⁡ θ , z

Passo 6

Prontinho 😊! Agora basicamente temos que voltar para a integral de superfície:

∬ S   F → ⋅ n →   d S

E trocar todos os três caras que descobrimos, onde S é substituído pela variação dos parâmetros, desse jeito aqui oh:

∬ S   F → ⋅ n →   d S = ∫ 0 2 π ∫ 0 h a cos ⁡ θ - a sin ⁡ θ ,   a cos ⁡ θ + a sin ⁡ θ , z ⋅ a cos ⁡ θ , a sen ⁡ θ , 0   d z d θ =

∫ 0 2 π ∫ 0 h a 2 cos 2 ⁡ θ - a 2 cos ⁡ θ sin ⁡ θ + a 2 cos ⁡ θ sin ⁡ θ + a 2 sin 2 ⁡ θ   d z d θ =

∫ 0 2 π ∫ 0 h a 2 cos 2 ⁡ θ + a 2 sin 2 ⁡ θ   d z d θ =

∫ 0 2 π ∫ 0 h a 2 cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ   d z d θ

Como cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1 e a é constante...

a 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 h   d z d θ

Bora calcular a integral? 😊

Passo 7

a 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 h   d z d θ = a 2 ∫ 0 2 π h   d θ =

a 2 h ∫ 0 2 π   d θ = 2 π a 2 h

Resposta

2 π a 2 h

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