Calcule a integral de superfície ∫ ∫ S F → ⋅ N → d σ para cada um dos campos de vetores F → e superfícies orientadas S indicadas abaixo. Em outras palavras, calcule o fluxo de F → através de S . Quando S é uma superfície fechada, admita que S está orientada pela normal exterior.

( j ) F → ( x , y , z ) = y   i → + z   j → + x   k →   e S é a parte da superfície z = 4 - x limitada pela superfície cilíndrica y 2 = x , orientado de modo que a sua normal N → satisfaz N → ⋅ i → > 0 ;

Passo 1

Eaew, belezinha?

Nós temos que calcular a seguinte integral de superfície

∫ ∫ S F → ⋅ N → d σ

para esta alternativa, temos o seguinte campo vetorial

F → ( x , y , z ) = y   i → + z   j → + x   k →  

e a nossa superfície é a parte da superfície z = 4 - x limitada pela superfície cilíndrica y 2 = x , e orientada de forma que N → ⋅ i → > 0 . Vamos tentar utilizar a seguinte definição para resolver o nosso problema

∫ ∫ S F → ⋅ N → d σ = ∫ u 0 u f ∫ v 0 v f F → [ u , v ] ⋅ [ ∂ σ ∂ u × ∂ σ ∂ v ]   d v   d u

em que temos σ ( u , v ) uma parametrização de nossa superfície! Bora lá!

Passo 2

Primeiro é interessante visualizarmos a nossa superfície, temos que

precisamos parametrizar essa superfície da seguinte maneira

σ ( u , v ) = ( u , v , 4 - u )

portanto, as derivadas parciais são da forma

∂ ∂ u [ σ ( u , v ) ] = ( 1,0 , - 1 2 4 - u )

para a derivada em v , temos que

∂ ∂ v [ σ ( u , v ) ] = ( 0,1 , 0 )

se fizermos o produto vetorial, podemos obter o seguinte vetor normal

∂ ∂ u [ σ ( u , v ) ] × ∂ ∂ v   [ σ ( u , v ) ] = 1 2 4 - u i → + 1 k →

em que o fiz o produto vetorial usando a definição através do determinante, note que temos que N → ⋅ i → > 0 , portanto, podemos usar esse vetor sem problemas! Vamos continuar com o nosso problema agora!

Passo 3

Escrevendo o campo vetorial usando a nossa parametrização, temos que

F → ( u , v ) = ( v , 4 - u , u )

e, portanto, o produto escalar em nosso integrando se torna

F → [ u , v ] ⋅ [ ∂ σ ∂ u × ∂ σ ∂ v ] = ( v , 4 - u , u ) ⋅ ( 1 2 4 - u , 0,1 ) = v 2 4 - u + u

A integral se torna

∫ ∫ S F → ⋅ N → d σ = ∫ u 0 u f ∫ v 0 v f [ v 2 4 - u + u ]   d v   d u

observando a nossa figura, temos que 0 ≤ u ≤ 4 e que - u ≤ v ≤ u . A nossa integral se torna então

∫ ∫ S F → ⋅ N → d σ = ∫ 0 4 ∫ - u u [ v 2 4 - u + u ]   d v   d u

Vamos calcular as integrais agora! Bora lá!

Passo 4

Vamos começar com as integrações em v , temos que

∫ 0 4 ∫ - u u [ v 2 4 - u + u ]   d u   d v = ∫ 0 4 ∫ - u u v 2 4 - u d v   d u + ∫ 0 4 ∫ - u u u d v   d u

a primeira pode ser obtida como

∫ - u u v d v = 0

pois temos uma função ímpar em intervalos simétricos, agora para a outra integral em v , temos que

∫ - u u d v = v | - u + u = 2 u

A nossa integral se reduz agora à

∫ 0 4 ∫ - u u [ v 2 4 - u + u ]   d u   d v = 2 ∫ 0 4 u   d u

Vamos resolver as integrais que faltam agora! Vem comigo!

Passo 5

Temos que

∫ 0 4 u   d u = 2 3 u 3 / 2 | 0 4 = 16 3

A nossa integral pode ser finalmente ser obtida como

∫ ∫ S F → ⋅ N → d σ = ∫ 0 4 ∫ - u u [ v 2 4 - u + u ]   d v   d u = 32 3

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

∫ ∫ S F → ⋅ N → d σ = 32 3

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