Questão 6. Calcule as seguintes integrais de superfícies.

(b) ∬ S y d S , S é a superfície z = 1 3 x 3 2 + y 3 2 , 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nosso objetivo nesse problema é obter a integral de superfície dada por ∬ S y d S onde S é a superfície z = 1 3 x 3 2 + y 3 2 com 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1 .

Tem ideia do que fazer? 😐

Nesses casos, podemos usar uma regrinha que diz

∬ S f x , y , z d S = ∬ A f x , y , g x , y · N → d A

Onde N → é o vetor normal de z = 1 + 2 x + 3 y

N → = ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 + 1

E aí, melhorou? 🤔

Passo 2

No caso, f x , y , z = y e g x , y = 1 3 x 3 2 + y 3 2

Dessa forma, vamos obter que f x , y , g x , y será dado por

f x , y , g x , y = y

Calculando o módulo vetor normal N → , temos

N → = ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 + 1

Pelo método de derivação polinomial, temos

∂ z ∂ x = ∂ 1 3 x 3 2 + y 3 2 ∂ x = x 2

∂ z ∂ y = ∂ 1 3 x 3 2 + y 3 2 ∂ y = y 2

Ou seja

N → = x 2 2 + y 2 2 + 1 = x 4 + y 4 + 1

N → = x + y + 4 4

N → = x + y + 4 2

Substituindo na integral...

∬ S f x , y , z d S = ∬ A f x , y , g x , y · N → d A

∬ S f x , y , z d S = ∬ A y · x + y + 4 2 d A

Podemos definir d A a partir da informação de que nossa superfície de interesse está entre 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1 .

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Definindo os limites de integração, temos

∬ S f x , y , z d S = ∫ 0 1 ∫ 0 1 y · x + y + 4 2 d x d y

Pelo método de substituição fazendo u = x + y + 4 e d x = d u ...

y 2 ∫ u d u = y 3 u 3 / 2

Voltando u para x + y + 4 e aplicando os limites de integração

∫ 0 1 y · x + y + 4 2 d x = y 3 1 + y + 4 3 / 2 - y 3 0 + y + 4 3 / 2

∫ 0 1 y · x + y + 4 2 d x = y 3 y + 5 3 / 2 - y 3 y + 4 3 / 2

∫ 0 1 y · x + y + 4 2 d x = y y + 5 3 2 - y + 4 3 2 3

Com isso, até agora temos

∬ S f x , y , z d S = ∫ 0 1 y y + 5 3 2 - y + 4 3 2 3 d y = 1 3 ∫ 0 1 y y + 5 3 2 d y - ∫ 0 1 y y + 4 3 2 d y

Bacana, não é? 😁

Passo 4

Como temos o produto entre duas funções de y , podemos aplicar o método de integração por partes

Para a primeira integral, fazemos u = y + 5 3 2 d y e d v = y , assim d u = 3 2 y + 5 1 2 e v = y 2 2

∫ y y + 5 3 2 d y = y 2 2 · y + 5 3 2 - ∫ y 2 2 · 3 2 y + 5 1 2 d y

∫ y y + 5 3 2 d y = y 2 2 y + 5 3 2 - 3 4 ∫ y 2 y + 5 1 2 d y

Pulando o cálculo dessa integral, vamos chegar em

∫ y y + 5 3 2 d y = 2 y 2 + 3 y - 10 y + 5 3 2 7

Aplicando os limites de integração, temos

∫ 0 1 y y + 5 3 2 d y = 2 1 2 + 3 1 - 10 1 + 5 3 2 7 - 2 0 2 + 3 0 - 10 0 + 5 3 2 7

∫ 0 1 y y + 5 3 2 d y = 2 - 6 6 3 2 7 - 2 - 10 5 3 2 7

∫ 0 1 y y + 5 3 2 d y = 100 5 - 72 6 7

Seguindo os mesmos passos para a próxima integral, vamos chegar em

∫ y y + 4 3 2 d y = 2 5 y 2 + 12 y - 32 y + 4 3 2 35

Aplicando os limites de integração

∫ 0 1 y y + 4 3 2 d y = 2 5 1 2 + 12 1 - 32 1 + 4 3 2 35 - 2 5 0 2 + 12 0 - 32 0 + 4 3 2 35

∫ 0 1 y y + 4 3 2 d y = 2 - 15 5 3 2 35 - 2 - 32 4 3 2 35

∫ 0 1 y y + 4 3 2 d y = 512 - 150 5 35

Estamos quase acabando! 👀

Passo 5

Substituindo esses resultados parciais na equação do problema, vamos obter

∬ S f x , y , z d S = 1 3 ∫ 0 1 y y + 5 3 2 d y - ∫ 0 1 y y + 4 3 2 d y

∬ S f x , y , z d S = 1 3 100 5 - 72 6 7 - 512 - 150 5 35

Simplificando...

∬ S f x , y , z d S = 100 5 - 72 6 21 - 512 - 150 5 105

∬ S f x , y , z d S = 650 5 - 512 - 360 6 105

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

∬ S f x , y , z d S = 650 5 - 512 - 360 6 105

Exercícios de Livros Relacionados

Avalie a integral de superfície ∬ S F → ⋅ d S → para o campo vetorial dado F → e a superfície orientada S . Em outras palavras, localize o fluxo de F através deS . Para superfícies fechadas, use a ori
Calcule a integral de superfície ∫ ∫ SF ∙ d S para o campo vetorial F e superfície orientada S . Em outras palavras, determine o fluxo de F através de S . Para superfícies fechadas, use a orientação p
Calcule a integral de superfície ∫ ∫ SF ∙ d S para o campo vetorial F e superfície orientada S . Em outras palavras, determine o fluxo de F através de S . Para superfícies fechadas, use a orientação p
A temperatura de um ponto da bola com condutividade K é inversamente proporcional à distância do centro da bola. Determine a taxa de transmissão de calor através de uma esfera S de raio a e centro da
Determine uma fórmula para ∬ S F → ⋅ d S → semelhante à fórmula 10 para o caso onde S é dado por y = h ( x , z ) e n → é o vetor normal unitário que aponta para a esquerda.