Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial

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Enunciado

23) Calcule

∬ S   F → ⋅ n →   d S

b) F → x ,   y ,   z = - x i → + - y j → + 3 y 2 z k → e S é a parte do cilindro x 2 + y 2 = 16 , situado no primeiro octante, entre z = 0 e z = 5 - y , n → apontando para o eixo z .

Passo 1

Vamos começar este problema vendo o que vamos fazer para chegar a solução do problema, ok? Inclusive isso é sempre sugerido: sempre coloque em primeiro o lugar o que você terá que fazer para chegar no resultado do problema. Fica a dica 😉!

∬ S   F → ⋅ n →   d S

No caso da integral de superfície, existem três coisinhas básicas:

1º - Parametrizar a superfície S .

2º - Encontrar o termo n → d S

3º - Trocar os termos da função F → pelos termos da parametrização.

Assim que você parametrizar, encontrar e trocar é só meter bronca na integral. Bora? 😊

Passo 2

A primeira coisa como vimos é parametrizar a superfície do problema. Mas antes: quem é a superfície S dada? Ora, se a gente desenhar conforme o enunciado nos pede chegamos na superfície...

E é ela quem queremos parametrizar!

Pow, perceba que a superfície é um pedaço de um cilindro de raio 4 . Parametrizar isso pode ser feito com as coordenadas cilíndricas dessa forma aqui

x = 4 cos ⁡ θ

y = 4 sin ⁡ θ

z = z

A parametrização final então é:

σ θ ,   z = 4 cos ⁡ θ , 4 sin ⁡ θ , z  

Passo 3

Agora, a gente nunca deve terminar uma parametrização sem ao menos dizer onde estão variando os nossos parâmetros que no caso são θ E z .

θ está variando de 0 até 90 ° pois está delimitado ao primeiro octante:

0 ≤ θ ≤ π 2

Enquanto o z ...

0 ≤ z ≤ p l a n o →

0 ≤ z ≤ 5 - y →

Colocando nas novas coordenadas...

0 ≤ z ≤ 5 - 4 sin ⁡ θ

Passo 4

Ok, agora de acordo com o nosso roteiro láaaa do passo 1 , o que devemos fazer agora é encontrar o termo n → d S e que pode ser encontrado, fazendo:

n → d S = N →   d z d θ

Onde N → é o vetor normal da superfície que a gente encontra assim oh (tendo a parametrização em mãos já heim 😉)

N → = ∂ σ ∂ z × ∂ σ ∂ θ

Como

σ θ ,   z = 4 cos ⁡ θ , 4 sin ⁡ θ , z  

Então...

∂ σ ∂ θ = - 4 sen ⁡ θ , 4 cos ⁡ θ , 0

∂ σ ∂ z = 0 ,   0 ,   1

N → = i j k - 4 sen ⁡ θ 4 cos ⁡ θ 0 0 0 1

= ( 4 cos ⁡ θ , 4 sen ⁡ θ , 0 )

Como queremos o vetor que está pra dentro, ou seja, apontando para o eixo... Então o termo n → d S fica sendo...

n → d S = - 4 cos ⁡ θ , - 4 sen ⁡ θ , 0 d z d θ

Passo 5

Ótimo, agora vamos simplesmente trocar os termos da função F → , pelos termos da parametrização, dessa forma aqui oh:

F → x ,   y ,   z = - x i → + - y j → + 3 y 2 z k →

Como

x = 4 cos ⁡ θ

y = 4 sin ⁡ θ

z = z

F → σ z ,   θ = - 4 cos ⁡ θ ,   - 4 sin ⁡ θ , -  

Repare que não substituímos o último cara, e o motivo é porque não precisa. Ora, o vetor normal zerou essa posição, saca :)!

Passo 6

Prontinho 😊! Agora basicamente temos que voltar para a integral de superfície:

∬ S   F → ⋅ n →   d S

E trocar todos os três caras que descobrimos, onde S é substituído pela variação dos parâmetros, desse jeito aqui oh:

∬ S   F → ⋅ n →   d S = ∫ 0 π 2 ∫ 0 5 - 4 sin ⁡ θ - 4 cos ⁡ θ ,   - 4 sin ⁡ θ , -   ⋅ - 4 cos ⁡ θ , - 4 sen ⁡ θ , 0   d z d θ =

∫ 0 π 2 ∫ 0 5 - 4 sin ⁡ θ 16 cos 2 ⁡ θ + 16 sin 2 ⁡ θ   d z d θ =

16 ∫ 0 π 2 ∫ 0 5 - 4 sin ⁡ θ   d z d θ

Bora calcular a integral? 😊

Passo 7

16 ∫ 0 π 2 ∫ 0 5 - 4 sin ⁡ θ   d z d θ = 16 ∫ 0 π 2 5 - 4 sin ⁡ θ d θ =

16 5 θ + 4 cos ⁡ θ 0 π 2 = 16 5 π 2 + 4 cos ⁡ π 2 - 4 =

16 5 π 2 - 4 = 40 π - 64

Resposta

40 π - 64

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