Sejam F → x , y , z = x 2 z ,   z e x 2 ,   x 2 + y 2 um campo vetorial e S a superfície dada por z = - 2 + x 2 + y 2 , com z ≤ 0 . Calcule

∬ F → ∙ n → d A

Sendo que n é o vetor normal de S que aponta para dentro.

Passo 1

Beleza meu consagrado?! Espero que sim, pois agora é hora de darmos início a resolução dessa prova, então segura que lá vai...

Seja W o sólido - 2 + x 2 + y 2 ≤ z ≤ 0 . Por Gauss

∭ d i v   F ∙ d V = ∬ F ∙ n d S D - ∬ F ∙ n d S S

Onde D é o disco x 2 + y 2 ≤ 2 , z = 0 = 0 ("tampando “a superfície) e ambas S e D estão

orientadas para cima. Para calcular o lado esquerdo, temos

d i v   F = ∂ x 2 z ∂ x + ∂ z e x 2 ∂ y + ∂ x 2 + y 2 ∂ z = 2 x z

Cuja integral em W, por simetria ( x →   - x ) vale 0.

Passo 2

Assim, agora para nós, basta calcular o fluxo de F → através de D; em D, temos z = 0 , portanto

F x , y , 0 = ( 0,0 , x 2 + y 2 )

E

n → = k → ⟹ F → ∙ n → = x 2 + y 2

E enfim

∬ F → ∙ n → d S = ∬ F → ∙ n → d S = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 r 2 ∙ r d r d θ = 2 π ∙ 2 4 4 = 2 π

Resposta

2 π

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