Calcule a área lateral da superfície do solido dado por z ≤ 1 - y 2 ,   z ≤ 1 - x 2 e z ≥ 0 .

Passo 1

Por simetria, basta calcular área de um dos 4 "lados", e multiplicar por 4. Vamos calcular área do lado "direito":

Este lado pode ser parametrizado como gráfico de função:

r → x , y = ( x , y , 1 - y 2 ) onde - y ≤ x ≤ y e 0 ≤ y ≤ 1

Passo 2

Pois a interseção dos dois cilindros é z = 1 - y 2 = 1 - x 2 ⇒ x = ± y . Assim:

r x → = 1,0 , 0 ;   r y → = 0,1 , - 2 y ⟹ r x →   x   r y → = 0,2 y , 1 ⟹ r x →   x   r y → = 1 + 4 y 2

E enfim

A = 4 ∬ 1 d s = 4 ∫ 0 1 ∫ - y y 1 + 4 y 2 d x d y = 8 ∫ 0 1 y 1 + 4 y 2 d y = 2 3 1 + 4 y 2 3 2 ​ 0 1 = 2 3 5 5 - 1

Resposta

2 3 5 5 - 1

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