Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, pp. 280-6.

Calcule a integral:

∬ S F ∙ n d S

Onde:

F = - 3 x y z 2 , x + 2 y z - 2 x z 4 , y z 3 - z 2

E S é a união da superfície: x 2 + y 2 = 1

0 ≤ z ≤ 1

Com a superfície:

z = 0

x 2 + y 2 ≤ 1

Indicando a orientação escolhida para S .

Passo 1

A superfície S é a união de outras duas. Podemos então separar a integral e fazer como se fossem dois problemas: ∬ S F ∙ n d S = ∬ S 1 F ∙ n d S + ∬ S 2 F ∙ n d S

Para a primeira, que é o cilindro x 2 + y 2 = 1 , vamos parametrizar com coordenadas polares:

x = t cos ⁡ θ

y = t   s e n θ

θ ∈ 0,2 π

t > 0 Substituindo na equação da superfície:

t cos ⁡ θ 2 + t   s e n θ 2 = 1

t 2 = 1 → t = 1

x = cos ⁡ θ

y = s e n θ

Portanto z sobrou como variável, vamos torna-la um parâmetro.

ϕ θ , z = cos ⁡ θ , s e n θ , z

Jogando a parametrização nas limitações, temos simplesmente: z ∈ 0,1

Portanto nosso domínio de integração é: D 1 = z , θ ∈ R 2 θ ∈ 0,2 π ,     z ∈ 0,1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Encontrando o vetor normal: N = ∂ ϕ ∂ θ × ∂ ϕ ∂ z

∂ ϕ ∂ θ = - s e n θ , cos ⁡ θ , 0

∂ ϕ ∂ z = 0,0 , 1

N = i j k - s e n θ cos ⁡ θ 0 0 0 1

N = cos ⁡ θ , s e n θ , 0

Como os valores de x e y estão com um sinal positivo, o vetor normal está apontando para fora.

Passo 3

Substituindo a parametrização no campo:

F = - 3 x y z 2 , x + 2 y z - 2 x z 4 , y z 3 - z 2

F = - 3 cos ⁡ θ s e n θ z 2 , cos ⁡ θ + 2 s e n θ z - 2 c o s θ z 4 , s e n θ z 3 - z 2

Fazendo o produto escalar:

- 3 cos ⁡ θ s e n θ z 2 , cos ⁡ θ + 2 s e n ( θ ) z - 2 c o s θ z 4 , s e n θ z 3 - z 2 ∙ cos ⁡ θ , s e n θ , 0

- 3 cos 2 ⁡ θ s e n θ z 2 + cos ⁡ θ s e n θ + 2 s e n 2 ( θ ) z - 2 s e n θ cos ⁡ θ z 4

Fazendo a integral:

∬ S 1 F ∙ n d S

∬ S 1 - 3 cos 2 ⁡ θ s e n θ z 2 + cos ⁡ θ s e n θ + 2 s e n 2 ( θ ) z - 2 s e n θ cos ⁡ θ z 4   d θ d z

Substituindo os limites de integração:

∫ 0 2 π ∫ 0 1 - 3 cos 2 ⁡ θ s e n θ z 2 + cos ⁡ θ s e n θ + 2 s e n 2 θ z - 2 s e n θ cos ⁡ θ z 4 d z d θ

∫ 0 2 π - cos 2 ⁡ θ s e n θ + cos ⁡ θ s e n θ   + s e n 2 θ - 2 s e n θ cos ⁡ θ 5 d θ

∫ 0 2 π - cos 2 ⁡ θ s e n θ + 3 5 cos ⁡ θ s e n θ   + s e n 2 θ d θ

Arrumando pela fórmula trigonométrica e por substituição simples: cos ⁡ θ s e n θ = s e n 2 θ 2

v = cos ⁡ θ → d v = - s e n θ d θ

s e n 2 θ = 1 - cos ⁡ 2 θ 2

- cos 2 ⁡ θ s e n θ = v 2 d v

Substituindo:

3 5 * 1 2 ∫ 0 2 π s e n 2 θ d θ + ∫ θ = 0 θ = 2 π v 2 d v + ∫ 0 2 π 1 - cos ⁡ 2 θ 2 d θ

- 3 20 ( cos ⁡ 2 θ ) 0 2 π + v 3 3 θ = 0 θ = 2 π + π - 1 4 ( sen ⁡ 2 θ ) 0 2 π

- 3 20 cos ⁡ 4 π - cos ⁡ 0 + 1 3 cos 3 ⁡ θ 0 2 π + π - 1 4 s e n 4 π - s e n 0

- 3 20 1 - 1 + 1 3 cos 3 ⁡ 2 π - cos 3 ⁡ 0 + π - 1 4 ( 0 - 0 )

∬ S 1 F ∙ n d S = 1 3 1 - 1 + π

∬ S 1 F ∙ n d S = π

Passo 4

Fazendo a parametrização para a outra superfície, sabemos que ela é o plano z = 0 .

Com os limites:

x 2 + y 2 ≤ 1

Que é o disco de raio unitário. Parametrizamos com coordenadas polares: x = t cos ⁡ θ

y = t   s e n θ

θ ∈ 0,2 π

t > 0

Substituindo: t cos ⁡ θ 2 + t sen ⁡ θ 2 ≤ 1

t 2 ≤ 1 → 0 ≤ t ≤ 1

Portanto nossos limites são o domínio: D 2 = t , θ ∈ R 2 θ ∈ 0,2 π ,     t ∈ 0,1

Modelando o plano:

ϕ t , θ = t cos ⁡ θ , t   s e n θ , 0

Obtemos o vetor normal: N 2 = i j k cos ⁡ θ s e n θ 0 - t   s e n θ t cos ⁡ θ 0

N 2 = 0,0 , t

Para manter a ideia de vetor normal apontando para fora da superfície, precisamos apontar o vetor N 2 para baixo, logo

N 2 = 0,0 , - t

Passo 5

Fazendo a integral:

∬ S 2 F ∙ n d S

Substituímos a parametrização no campo: F = - 3 x y z 2 , x + 2 y z - 2 x z 4 , y z 3 - z 2

Não importam a primeira e a segunda coordenadas pois o produto escalar com ( 0,0 , t ) vai zerá-las. Portanto: F = ( ? , ? , t   s e n θ z 3 - z 2 )

Mas nesse plano temos z = 0 , portanto: F = ? ,   ? ,   0

Pelo produto escalar temos: F ∙ n = ? ,   ? ,   0 . 0,0 , - t = 0

Portanto a integral é nula.

∬ S 2 F ∙ n d S = 0

Resposta

∬ S F ∙ n d S = π

Com a orientação do vetor normal às superfícies apontando para fora do cilindro e para baixo do plano.

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