Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial

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Enunciado

23) Calcule

∬ S   F → ⋅ n →   d S

h) F → x ,   y ,   z = z i → + y z j → e S é a parte do plano z = 2 - x , limitada pelo cilindro x 2 + y 2 = 9 , com n → tal que n → ⋅ k → ≥ 0 .

Passo 1

Vamos começar este problema vendo o que vamos fazer para chegar a solução do problema, ok? Inclusive isso é sempre sugerido: sempre coloque em primeiro o lugar o que você terá que fazer para chegar no resultado do problema. Fica a dica 😉!

∬ S   F → ⋅ n →   d S

No caso da integral de superfície, existem três coisinhas básicas:

1º - Parametrizar a superfície S .

2º - Encontrar o termo n → d S

3º - Trocar os termos da função F → pelos termos da parametrização.

Assim que você parametrizar, encontrar e trocar é só meter bronca na integral. Bora? 😊

Passo 2

A primeira coisa como vimos é parametrizar a superfície do problema. Mas antes: quem é a superfície S dada? Ora, se a gente desenhar conforme o enunciado nos pede chegamos na superfície...

E é ela quem queremos parametrizar!

Pow, veja que estamos trabalhando com um pedaço de plano (a superfície é o plano):

z = 2 - x

Podemos parametrizar esse plano como uma parametrização explícita, ou seja...

σ x ,   y = x ,   y ,   2 - x

Passo 3

Agora, a gente nunca deve terminar uma parametrização sem ao menos dizer onde estão variando os nossos parâmetros que no caso são x E y .

Veja que podemos encontrar esses caras, ou melhor, ter uma ideia de onde eles variam fazendo a projeção da superfície no plano x y :

Repare que no caso o x e o y está sendo delimitado por essa circunferência de equação sendo a mesma do cilindro que a gente te vendo...

x 2 + y 2 = 9

Passo 4

Ok, agora de acordo com o nosso roteiro láaaa do passo 1 , o que devemos fazer agora é encontrar o termo n → d S e que pode ser encontrado, fazendo:

n → d S = N →   d x d y

Onde N → é o vetor normal da superfície que a gente encontra assim oh (tendo a parametrização em mãos já heim 😉)

N → = ∂ σ ∂ x × ∂ σ ∂ y

No caso, como a parametrização é feita utilizando as parametrizações explicitas podemos evitar esse cálculo chato e seguir o macete aqui oh:

z = 2 - x

N → = - ∂ z ∂ x ,   - ∂ z ∂ y ,   1

Calculando essas derivadas parciais...

N → = 1 ,   0   ,   1

Como o problema nos pediu que n → ⋅ k → ≥ 0 , é esse vetor aí mesmo que a gente quer, pois a coordenada z dele é positiva 😉!

Então o termo n → d S fica sendo...

n → d S = 1 ,   0 ,   1   d x d y

Passo 5

Ótimo, agora vamos simplesmente trocar os termos da função F → , pelos termos da parametrização, dessa forma aqui oh:

F → x ,   y ,   z = z i → + y z j → = z ,   y z ,   0

Como só o z que muda...

2 - x ,   y 2 - x ,   0

Passo 6

Prontinho 😊! Agora basicamente temos que voltar para a integral de superfície:

∬ S   F → ⋅ n →   d S

E trocar todos os três caras que descobrimos, onde S é substituído pela variação dos parâmetros, desse jeito aqui oh:

∬ S   F → ⋅ n →   d S = ∬ D   2 - x ,   y 2 - x ,   0 ⋅ 1 ,   0 ,   1   d x d y =

∬ D   2 - x     d x d y

Bora calcular a integral?

Passo 7

Como a região D é circular de raio 3 ...

Podemos mudar para as coordenadas polares...

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

Não se esquecendo do Jacobiano

J = r

E lembrando que como é um círculo cheio o θ só pode está dando uma volta completa:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Enquanto o r ...

0 ≤ r ≤ 3

Logo...

∬ D   2 - x     d x d y = ∫ 0 2 π ∫ 0 3 2 - r cos ⁡ θ ⋅ J   d r d θ =

∫ 0 2 π ∫ 0 3 2 r - r 2 cos ⁡ θ   d r d θ

Calculando isso

∫ 0 2 π ∫ 0 3 2 r - r 2 cos ⁡ θ   d r d θ = ∫ 0 2 π r 2 - r 3 3 cos ⁡ θ 0 3 d θ =

∫ 0 2 π 9 - 27 3 cos ⁡ θ d θ = 9 θ - 9 sin ⁡ θ 0 2 π =

18 π

Resposta

18 π

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