Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial

Ver Teoria

Enunciado

Dados o campo F → x , y , z = x z   i → + y z   j → - z 2 + z + e x 2 sen ⁡ y k → e a superfície fechada S que delimita o cilindro

E : x 2 + z 2 ≤ 9 ,   0 ≤ y ≤ 3

com a normal apontando para fora. Calcule:

(a) O fluxo de F → através da base de E que está contida no plano y = 0

Passo 1

Nossa região está com os eixos trocados, não é aquele cilindro normal que a gente geralmente desenha no eixo z , olha só como é o esboço desse aqui

A base desse cilindro no plano y = 0 nada mais é do o círculo

x 2 + z 2 ≤ 9

y = 0

Esse aqui

O fluxo de F → que o enunciado pediu pra gente é calculado pela integral de superfície

∬ S F → . n → d S

Precisamos então parametrizar essa superfície, calcular a normal n → e calcular a integral, vamos lá?

Passo 2

Começando pela parametrização, como a superfície é um circulo de raio 3 em y = 0 , podemos fazer isso aqui

x 2 + z 2 ≤ 9

x = r cos ⁡ θ

y = 0

z = r sen ⁡ θ

φ r , θ = r cos ⁡ θ , 0 , r sen ⁡ θ

0 ≤ r ≤ 3

0 ≤ θ ≤ 2 π

Para calcular a normal à superfície, precisamos fazer o produto vetorial entre as derivadas de φ , assim

∂ φ ∂ r = cos ⁡ θ , 0 , sen ⁡ θ

∂ φ ∂ θ = - r sen ⁡ θ , 0 , r cos ⁡ θ

n → = ∂ φ ∂ r × ∂ φ ∂ θ = i j k cos ⁡ θ 0 sen ⁡ θ - r sen ⁡ θ 0 r cos ⁡ θ

n → = 0 , r , 0

Como a normal deve estar apontando para fora no esboço do passo 1, o valor de y deve ser negativo, portanto

n → = 0 , - r , 0

Antes de colocar tudo na integral, precisamos descobrir como fica F → escrito com r e θ

F → x , y , z = x z   i → + y z   j → - z 2 + z + e x 2 sen ⁡ y k →

F → r , θ = r cos ⁡ θ r sen ⁡ θ i → + 0 j → + r 2 sen 2 ⁡ θ + r sen ⁡ θ + e r 2 cos 2 ⁡ θ k →

Bem complicado né? Vamos ver que fazendo o produto escalar com a normal n → vai ficar mais simples.

Passo 3

Na integral

∬ S r 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ , 0 , r 2 sen 2 ⁡ θ + r sen ⁡ θ + e r 2 cos 2 ⁡ θ . 0 , - r , 0 d r d θ

= ∬ S 0 d r d θ

= 0

Resposta

0

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral de superfície ∫ ∫ S   F ∙ d S para o campo vetorial F e superfície orientada S . Em outras palavras, determine o fluxo de F através de S . Para superfícies fecha...
Calcule a integral de superfície ∫ ∫ S   F ∙ d S para o campo vetorial F e superfície orientada S . Em outras palavras, determine o fluxo de F através de S . Para superfícies fecha...
A temperatura de um ponto da bola com condutividade K é inversamente proporcional à distância do centro da bola. Determine a taxa de transmissão de calor através de uma esfera S de...
Determine uma fórmula para ∬ S F → ⋅ d S → semelhante à fórmula 10 para o caso onde S é dado por y = h ( x , z ) e n → é o vetor normal unitário que aponta para a esquerda.