(ii) Escolha uma das estratégias para resolver ∫∫ FdS.

Passo 1

Vamos utilizar da nossa segunda estratégia para resolver o problema. Onde vale lembrar que temos:

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

z = r 2

Onde 0 ≤ r ≤ 1   e   0 ≤ θ ≤ 2 π .

Passo 2

Depois de parametrizar a superfície, podemos usar a definição da integral de superfície para calcular a integral. Isso nos da

∫ S F ∙ d S = ∫ 0 1 ∫ 0 2 π F ( r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ ,   r 2 ) n d r d θ

onde n é o vetor normal à superfície S. O vetor normal é dado por

n ^ = ∂ x , y , z ∂ r ∙ ∂ x , y , z ∂ θ = - r 2 sin ⁡ θ ,   r 2 cos ⁡ θ ,   2 r

F x , y , z = ( y z 2 , x z 2 , x 2 + y 2 )

Substituindo agora com as parametrizações adequadas

F r cos ⁡ θ .   r sin ⁡ θ ,   r 2 = ( r 5 sin ⁡ θ ,   r 5 cos ⁡ θ ,   r 2 )

Quando realizarmos o produto escalar entre F e o vetor n , iremos multiplicar cada respectivo x , y , z de uma função pela outra e realizar a soma desses produtos.

Passo 3

Substituindo o vetor normal na integral, temos

∫ F ∙ d S =   ∫ 0 1 ∫ 0 2 π - r 7 sin 2 ⁡ θ + r 7 cos 2 ⁡ θ + 2 r 3 d θ d r

  ∫ 0 1 ∫ 0 2 π r 7 cos ⁡ 2 θ + 2 r 3 d θ d r

∫ 0 1 4 π r 3 d r

= π

Resposta

π

Exercícios de Livros Relacionados

Avalie a integral de superfície ∬ S F → ⋅ d S → para o campo vetorial dado F → e a superfície orientada S . Em outras palavras, localize o fluxo de F através deS . Para superfícies fechadas, use a ori
Calcule a integral de superfície ∫ ∫ SF ∙ d S para o campo vetorial F e superfície orientada S . Em outras palavras, determine o fluxo de F através de S . Para superfícies fechadas, use a orientação p
Calcule a integral de superfície ∫ ∫ SF ∙ d S para o campo vetorial F e superfície orientada S . Em outras palavras, determine o fluxo de F através de S . Para superfícies fechadas, use a orientação p
A temperatura de um ponto da bola com condutividade K é inversamente proporcional à distância do centro da bola. Determine a taxa de transmissão de calor através de uma esfera S de raio a e centro da
Determine uma fórmula para ∬ S F → ⋅ d S → semelhante à fórmula 10 para o caso onde S é dado por y = h ( x , z ) e n → é o vetor normal unitário que aponta para a esquerda.