Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial

UFF, Cálculo IIIA, Listas GMA - Lista 5, Questão 23b

23) Calcule

S   F n   d S

b) F x ,   y ,   z = - x i + - y j + 3 y 2 z k e S é a parte do cilindro x 2 + y 2 = 16 , situado no primeiro octante, entre z = 0 e z = 5 - y , n apontando para o eixo z .

Passo 1

Vamos começar este problema vendo o que vamos fazer para chegar a solução do problema, ok? Inclusive isso é sempre sugerido: sempre coloque em primeiro o lugar o que você terá que fazer para chegar no resultado do problema. Fica a dica 😉!

S   F n   d S

No caso da integral de superfície, existem três coisinhas básicas:

1º - Parametrizar a superfície S .

2º - Encontrar o termo n d S

3º - Trocar os termos da função F pelos termos da parametrização.

Assim que você parametrizar, encontrar e trocar é só meter bronca na integral. Bora? 😊

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A primeira coisa como vimos é parametrizar a superfície do problema. Mas antes: quem é a superfície S dada? Ora, se a gente desenhar conforme o enunciado nos pede chegamos na superfície...

E é ela quem queremos parametrizar!

Pow, perceba que a superfície é um pedaço de um cilindro de raio 4 . Parametrizar isso pode ser feito com as coordenadas cilíndricas dessa forma aqui

x = 4 cos θ

y = 4 sin θ

z = z

A parametrização final então é:

σ θ ,   z = 4 cos θ , 4 sin θ , z  

Passo 3

Agora, a gente nunca deve terminar uma parametrização sem ao menos dizer onde estão variando os nossos parâmetros que no caso são θ E z .

θ está variando de 0 até 90 ° pois está delimitado ao primeiro octante:

0 θ π 2

Enquanto o z ...

0 z p l a n o

0 z 5 - y

Colocando nas novas coordenadas...

0 z 5 - 4 sin θ

Passo 4

Ok, agora de acordo com o nosso roteiro láaaa do passo 1 , o que devemos fazer agora é encontrar o termo n d S e que pode ser encontrado, fazendo:

n d S = N   d z d θ

Onde N é o vetor normal da superfície que a gente encontra assim oh (tendo a parametrização em mãos já heim 😉)

N = σ z × σ θ

Como

σ θ ,   z = 4 cos θ , 4 sin θ , z  

Então...

σ θ = - 4 sen θ , 4 cos θ , 0

σ z = 0 ,   0 ,   1

N = i j k - 4 sen θ 4 cos θ 0 0 0 1

= ( 4 cos θ , 4 sen θ , 0 )

Como queremos o vetor que está pra dentro, ou seja, apontando para o eixo... Então o termo n d S fica sendo...

n d S = - 4 cos θ , - 4 sen θ , 0 d z d θ

Passo 5

Ótimo, agora vamos simplesmente trocar os termos da função F , pelos termos da parametrização, dessa forma aqui oh:

F x ,   y ,   z = - x i + - y j + 3 y 2 z k

Como

x = 4 cos θ

y = 4 sin θ

z = z

F σ z ,   θ = - 4 cos θ ,   - 4 sin θ , -  

Repare que não substituímos o último cara, e o motivo é porque não precisa. Ora, o vetor normal zerou essa posição, saca :)!

Passo 6

Prontinho 😊! Agora basicamente temos que voltar para a integral de superfície:

S   F n   d S

E trocar todos os três caras que descobrimos, onde S é substituído pela variação dos parâmetros, desse jeito aqui oh:

S   F n   d S = 0 π 2 0 5 - 4 sin θ - 4 cos θ ,   - 4 sin θ , -   - 4 cos θ , - 4 sen θ , 0   d z d θ =

0 π 2 0 5 - 4 sin θ 16 cos 2 θ + 16 sin 2 θ   d z d θ =

16 0 π 2 0 5 - 4 sin θ   d z d θ

Bora calcular a integral? 😊

Passo 7

16 0 π 2 0 5 - 4 sin θ   d z d θ = 16 0 π 2 5 - 4 sin θ d θ =

16 5 θ + 4 cos θ 0 π 2 = 16 5 π 2 + 4 cos π 2 - 4 =

16 5 π 2 - 4 = 40 π - 64

Resposta

40 π - 64

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