Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial

UFF, Cálculo IIIA, Listas GMA - Lista 5, Questão 23k

23) Calcule

S   F n   d S

k) F x ,   y ,   z = x i + - y j e S é a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , a 0 , no primeiro octante e n apontando para a origem.

Passo 1

Vamos começar este problema vendo o que vamos fazer para chegar a solução do problema, ok? Inclusive isso é sempre sugerido: sempre coloque em primeiro o lugar o que você terá que fazer para chegar no resultado do problema. Fica a dica 😉!

S   F n   d S

No caso da integral de superfície, existem três coisinhas básicas:

1º - Parametrizar a superfície S .

2º - Encontrar o termo n d S

3º - Trocar os termos da função F pelos termos da parametrização.

Assim que você parametrizar, encontrar e trocar é só meter bronca na integral. Bora? 😊

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A primeira coisa como vimos é parametrizar a superfície do problema. Mas antes: quem é a superfície S dada? Ora, se a gente desenhar conforme o enunciado nos pede chegamos na superfície...

E é ela quem queremos parametrizar!

Pow, perceba que a superfície é um pedaço de esfera de raio a . Parametrizar isso pode ser feito com as coordenadas esféricas dessa forma aqui

x = a sin φ cos θ

y = a sin φ sin θ

z = a cos φ

A parametrização final então é:

σ θ ,   φ = a sin φ cos θ , a sin φ sin θ , a cos φ  

Perceba que a não é parâmetro e sim um número que “conhecemos”, uma constante.

Passo 3

Agora, a gente nunca deve terminar uma parametrização sem ao menos dizer onde estão variando os nossos parâmetros que no caso são θ E φ .

θ está variando de 0 até 90 ° pois está delimitado ao primeiro octante:

0 θ π 2

Enquanto o φ , também...

0 φ π 2

Passo 4

Ok, agora de acordo com o nosso roteiro láaaa do passo 1 , o que devemos fazer agora é encontrar o termo n d S e que pode ser encontrado, fazendo:

n d S = N   d z d θ

Onde N é o vetor normal da superfície que a gente encontra assim oh (tendo a parametrização em mãos já heim 😉)

N = σ z × σ θ

Como

σ θ ,   φ = a sin φ cos θ , a sin φ sin θ , a cos φ  

Então deveríamos derivar tuuudo o que daria um trabalhão. Como a esfera de centro na origem aparece muuuito na nossa vida, esse vetor normal é bom memorizarmos. Mas não se preocupe que tem um macete:

N = a sin φ σ θ ,   φ  

N = a 2 sin φ sin φ cos θ , sin φ sin θ , cos φ  

a 2 sin 2 φ cos θ , a 2 sin 2 φ sin θ , a 2 sin φ cos φ  

Como buscamos o vetor normal apontado para a origem, devemos inverter o sinal...

n d S = - a 2 sin 2 φ cos θ , - a 2 sin 2 φ sin θ , - a 2 sin φ cos φ   d θ d φ

Passo 5

Ótimo, agora vamos simplesmente trocar os termos da função F , pelos termos da parametrização, dessa forma aqui oh:

F x ,   y ,   z = x i + - y j

F σ φ ,   θ = a sin φ cos θ ,   - a sin φ sin θ , 0  

Passo 6

Prontinho 😊! Agora basicamente temos que voltar para a integral de superfície:

S   F n   d S

E trocar todos os três caras que descobrimos, onde S é substituído pela variação dos parâmetros, desse jeito aqui oh:

0 π 2 0 π 2 a sin φ cos θ ,   - a sin φ sin θ , 0   - a 2 sin 2 φ cos θ , - a 2 sin 2 φ sin θ , - a 2 sin φ cos φ     d φ d θ =

0 π 2 0 π 2 - a 3 sin 3 φ cos 2 θ + a 3 sin 3 φ sin 2 θ   d φ d θ =

a 3 0 π 2 0 π 2 sin 3 φ sin 2 θ - cos 2 θ   d φ d θ

Bora calcular a integral? 😊

Passo 7

Como a integral é iterada e os limites das variáveis são números, podemos...

a 3 0 π 2 sin 2 θ - cos 2 θ d θ 0 π 2 sin 3 φ d φ =

Por trigonometria

cos 2 θ - sin 2 θ = cos 2 θ

Então...

a 3 0 π 2 - cos 2 θ d θ 0 π 2 sin 3 φ d φ =

Veja, calculando a primeira integral em θ ...

0 π 2 - cos 2 θ d θ = - sin 2 θ 0 π 2 =

- sin π + sin 0 = 0

Olha que legal! Nem precisamos calcular a segunda integral, pois como é um produto, o resultado é

a 3 0 π 2 - cos 2 θ d θ 0 π 2 sin 3 φ d φ = 0

Resposta

0

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas