Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial

UFF, Cálculo IIIA, Listas GMA - Lista 5, Questão 23f

23) Calcule

S   F n   d S

f) F x ,   y ,   z = x ,   y ,   - z e S é a semiesfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 , z 0 , com n exterior.

Passo 1

Sabemos que o fluxo de um campo sobre uma superfície S é dado por uma integral de superfície dessa forma aqui:

S   F n   d S

Mas se você notar bem, a superfície se você a desenhar, vai reparar que se trata da metade da esfera:

Como o divergente desse campo é mole:

d i v   F = F 1 x + F 2 y + F 2 z

Como

F = x ,   y ,   - z

d i v   F = 1 + 1 + - 1 = 1

Resolver pelo Teorema de Gauss vai ser uma maravilha! 😊

W   F n   d S = W   d i v   F   d V

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Mas não podemos aplicar essa integral assim... De qualquer forma. Precisamos averiguar as condições do Teorema que nos pede:

1º - Uma superfície fechada W delimitando o sólido W .

2º - Sem singularidades na função Vetorial.

3º - Superfície orientada positivamente.

Vamos passar por cada um deles e verificar se satisfazem ou não 😊!

Passo 3

Quanto ao primeiro quesito, ter uma superfície fechada, já falhamos. Afinal de contas a nossa superfície é uma superfície aberta na parte de cima em z = 0 :

Ora! Se a superfície só não é fechada por um círculosinho em cima do plano z = 0 , fechamos esse cara com essa tampa!

A essa superfície que acabamos de adicionar, daremos um nome de S 2 , mas não se preocupe, é apenas um nome ok? E veja também que essa superfície tem o raio igual ao da esfera, ou seja, R = 2 😉

Passo 4

2º - Sem singularidades na função Vetorial:

F = x ,   y ,   - z

Esse campo Vetorial funciona em todas as situações, afinal ele não tem nenhuma divisão por 0 ou algo do tipo.

3º - Superfície orientada positivamente:

Bem, isso significa que precisamos de uma superfície com vetores normais saindo do sólido fechado por ela, o que já acontece lá do enunciado. Então é pra fora que o nosso vetor n aponta (orientada positivamente 😉)

Passo 5

Bem, com as três condições sendo satisfeitas, podemos aplicar a igualdade do Teorema sem nenhuma restrição...

W   F d S = W   d i v   F   d V

Aqui só tenho um detalhe que preciso te falar! A integral de superfície do teorema é calculada em cima da superfície que fecha o sólido W . E esse cara é

W = S S 2

Logo, temos que desmembrar a integral de superfície em duas... S   F n   d S + S 2   F n   d S = W   d i v   F   d V

Vamos só fazer mais simplificações aqui... Passando a integral de S 2 pro outro lado...

S   F n   d S = W   d i v   F   d V - S 2   F n   d S

Passo 6

Eu sei que parece loucura trocar o cálculo de uma integral de superfície por outras duas integrais! Mas pode acreditar talvez é o único jeito mesmo ainda mais nesse caso 😐!

Mas vamos começar aqui então pela integral tripla...

W   d i v   F   d V = W     d V =

V o l u m e   ( W )

Que maravilha 😊! Pois conhecemos o volume da semiesfera de raio 2 ...

4 3 π 2 3 2 = 16 π 3

Então...

W   d i v   F   d V = 16 π 3

Passo 7

Concluímos uma etapa, mas ainda nos falta encontrar qual é o resultado da integral de superfície de F em cima de superfície que adicionamos, ou seja, a tampa onde z = 0 ...

S 2   F n   d S

O vetor n por ser um vetor normal unitário apontado pra baixo... Pode ser escrito como...

0 ,   0 , -   1

Logo...

S 2   F n   d S = S 2   x ,   y , - z 0 ,   0 , -   1   d S =

Resolvendo esse produto escalar...

S 2   z   d S

Agora é só calcular essa integral de superfície do caso escalar 😉!

Estamos em cima do plano z = 0 , logo...

S 2   0   d S = 0

Passo 8

Veja bem, encontramos o valor da integral em S 2 . Mas como vimos do teorema de Gauss...

S   F d S = W   d i v   F   d V - S 2   F d S

Então

S   F d S = 16 π 3 - 0

S   F d S = 16 π 3

Resposta

16 π 3

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas