23) Calcule

∬ S   F → ⋅ n →   d S

g) F → x ,   y ,   z = y i → + x j → + 2 k → e S é a superfície plana limitada pelo triângulo de vértices 2 ,   0 ,   0 , 0 ,   2 ,   0 e 0 ,   0 ,   2 , com n → tendo a componente z não negativa.

Passo 1

Vamos começar este problema vendo o que vamos fazer para chegar a solução do problema, ok? Inclusive isso é sempre sugerido: sempre coloque em primeiro o lugar o que você terá que fazer para chegar no resultado do problema. Fica a dica 😉!

∬ S   F → ⋅ n →   d S

No caso da integral de superfície, existem três coisinhas básicas:

1º - Parametrizar a superfície S .

2º - Encontrar o termo n → d S

3º - Trocar os termos da função F → pelos termos da parametrização.

Assim que você parametrizar, encontrar e trocar é só meter bronca na integral. Bora? 😊

Passo 2

A primeira coisa como vimos é parametrizar a superfície do problema. Mas antes: quem é a superfície S dada? Ora, se a gente desenhar conforme o enunciado nos pede chegamos na superfície...

E é ela quem queremos parametrizar!

Passo 3

Pow, veja que esse triângulo fica em cima de um plano e para parametrizarmos um plano, antes precisamos encontrar quem é esse plano.

Bem, a equação de um plano é sempre dessa forma aqui:

a x + b y + c z + d = 0

Queremos justamente esse a , b e c . Se a gente tem os pontos, basta substituir no x ,   y e z , veja:

2 ,   0 ,   0       →       2 a + d = 0         →             a = - d 2

0 ,   2 ,   0       →       2 b + d = 0         →             b = - d 2

0 ,   0 ,   2       →       2 c + d = 0       →             c = - d 2

Jogando na equação do plano

a x + b y + c z + d = 0               →                 - d 2 x + - d 2 y + - d 2 z + d = 0

Considerando então o d diferente de 0 , podemos multiplicar tudo por - 2 d ...

x + y + z - 2 = 0

Jogando tudo pra lá isolando o z ...

z = 2 - x - y

A parametrização final então é:

σ x ,   y = x ,   y , 2 - x - y  

Passo 4

Agora, a gente nunca deve terminar uma parametrização sem ao menos dizer onde estão variando os nossos parâmetros que no caso são x E y .

Veja que podemos encontrar esses caras, ou melhor, ter uma ideia de onde eles variam fazendo a projeção da superfície no plano x y :

Para descrever esse cara, veja que x varia de 0 até 2 ...

0 ≤ x ≤ 2

Enquanto o y vai de 0 até aquela reta obliqua:

0 ≤ y ≤ r e t a

Essa reta é o encontro do plano x + y + z - 2 = 0 com o plano z = 0 ...

x + y + z - 2 = 0       →           x + y - 2 = 0       →

y = 2 - x

Então...

0 ≤ y ≤ 2 - x

Passo 5

Ok, agora de acordo com o nosso roteiro láaaa do passo 1 , o que devemos fazer agora é encontrar o termo n → d S e que pode ser encontrado, fazendo:

n → d S = N →   d x d y

Onde N → é o vetor normal da superfície que a gente encontra assim oh (tendo a parametrização em mãos já heim 😉)

N → = ∂ σ ∂ x × ∂ σ ∂ y

No caso, como a parametrização é feita utilizando as parametrizações explicitas podemos evitar esse cálculo chato e seguir o macete aqui oh:

z = 2 - x - y

N → = - ∂ z ∂ x ,   - ∂ z ∂ y ,   1

Calculando essas derivadas parciais...

N → = 1 ,   1   ,   1

Então o termo n → d S fica sendo...

n → d S = 1 ,   1   ,   1   d x d y

Passo 6

Ótimo, agora vamos simplesmente trocar os termos da função F → , pelos termos da parametrização, dessa forma aqui oh:

F → x ,   y ,   z = y i → + x j → + 2 k →

Como só o z que muda e esse campo não tem z , então ele não muda nada também, uai!

Passo 7

Prontinho 😊! Agora basicamente temos que voltar para a integral de superfície:

∬ S   F → ⋅ n →   d S

E trocar todos os três caras que descobrimos, onde S é substituído pela variação dos parâmetros, desse jeito aqui oh:

∬ S   F → ⋅ n →   d S = ∫ 0 2 ∫ 0 2 - x x ,   y ,   2 ⋅ 1 ,   1   ,   1   d y d x =

∫ 0 2 ∫ 0 2 - x x + y + 2   d y d x

Bora calcular a integral?

Passo 8

∫ 0 2 ∫ 0 2 - x x + y + 2   d y d x = ∫ 0 2 x y + y 2 2 + 2 y 0 2 - x d x =

Substituindo...

∫ 0 2 x 2 - x + 2 - x 2 2 + 2 2 - x d x = ∫ 0 2 2 x - x 2 + 4 - 4 x + x 2 2 + 4 - 2 x d x =

∫ 0 2 6 - 2 x - 1 2 x 2 d x = 6 x - x 2 - 1 6 x 3 0 2 =

12 - 4 - 8 6 = 20 3

Resposta

20 3

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