Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial

UFF, Cálculo IIIA, Listas GMA - Lista 5, Questão 23g

23) Calcule

S   F n   d S

g) F x ,   y ,   z = y i + x j + 2 k e S é a superfície plana limitada pelo triângulo de vértices 2 ,   0 ,   0 , 0 ,   2 ,   0 e 0 ,   0 ,   2 , com n tendo a componente z não negativa.

Passo 1

Vamos começar este problema vendo o que vamos fazer para chegar a solução do problema, ok? Inclusive isso é sempre sugerido: sempre coloque em primeiro o lugar o que você terá que fazer para chegar no resultado do problema. Fica a dica 😉!

S   F n   d S

No caso da integral de superfície, existem três coisinhas básicas:

1º - Parametrizar a superfície S .

2º - Encontrar o termo n d S

3º - Trocar os termos da função F pelos termos da parametrização.

Assim que você parametrizar, encontrar e trocar é só meter bronca na integral. Bora? 😊

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A primeira coisa como vimos é parametrizar a superfície do problema. Mas antes: quem é a superfície S dada? Ora, se a gente desenhar conforme o enunciado nos pede chegamos na superfície...

E é ela quem queremos parametrizar!

Passo 3

Pow, veja que esse triângulo fica em cima de um plano e para parametrizarmos um plano, antes precisamos encontrar quem é esse plano.

Bem, a equação de um plano é sempre dessa forma aqui:

a x + b y + c z + d = 0

Queremos justamente esse a , b e c . Se a gente tem os pontos, basta substituir no x ,   y e z , veja:

2 ,   0 ,   0             2 a + d = 0                     a = - d 2

0 ,   2 ,   0             2 b + d = 0                     b = - d 2

0 ,   0 ,   2             2 c + d = 0                   c = - d 2

Jogando na equação do plano

a x + b y + c z + d = 0                               - d 2 x + - d 2 y + - d 2 z + d = 0

Considerando então o d diferente de 0 , podemos multiplicar tudo por - 2 d ...

x + y + z - 2 = 0

Jogando tudo pra lá isolando o z ...

z = 2 - x - y

A parametrização final então é:

σ x ,   y = x ,   y , 2 - x - y  

Passo 4

Agora, a gente nunca deve terminar uma parametrização sem ao menos dizer onde estão variando os nossos parâmetros que no caso são x E y .

Veja que podemos encontrar esses caras, ou melhor, ter uma ideia de onde eles variam fazendo a projeção da superfície no plano x y :

Para descrever esse cara, veja que x varia de 0 até 2 ...

0 x 2

Enquanto o y vai de 0 até aquela reta obliqua:

0 y r e t a

Essa reta é o encontro do plano x + y + z - 2 = 0 com o plano z = 0 ...

x + y + z - 2 = 0                 x + y - 2 = 0      

y = 2 - x

Então...

0 y 2 - x

Passo 5

Ok, agora de acordo com o nosso roteiro láaaa do passo 1 , o que devemos fazer agora é encontrar o termo n d S e que pode ser encontrado, fazendo:

n d S = N   d x d y

Onde N é o vetor normal da superfície que a gente encontra assim oh (tendo a parametrização em mãos já heim 😉)

N = σ x × σ y

No caso, como a parametrização é feita utilizando as parametrizações explicitas podemos evitar esse cálculo chato e seguir o macete aqui oh:

z = 2 - x - y

N = - z x ,   - z y ,   1

Calculando essas derivadas parciais...

N = 1 ,   1   ,   1

Então o termo n d S fica sendo...

n d S = 1 ,   1   ,   1   d x d y

Passo 6

Ótimo, agora vamos simplesmente trocar os termos da função F , pelos termos da parametrização, dessa forma aqui oh:

F x ,   y ,   z = y i + x j + 2 k

Como só o z que muda e esse campo não tem z , então ele não muda nada também, uai!

Passo 7

Prontinho 😊! Agora basicamente temos que voltar para a integral de superfície:

S   F n   d S

E trocar todos os três caras que descobrimos, onde S é substituído pela variação dos parâmetros, desse jeito aqui oh:

S   F n   d S = 0 2 0 2 - x x ,   y ,   2 1 ,   1   ,   1   d y d x =

0 2 0 2 - x x + y + 2   d y d x

Bora calcular a integral?

Passo 8

0 2 0 2 - x x + y + 2   d y d x = 0 2 x y + y 2 2 + 2 y 0 2 - x d x =

Substituindo...

0 2 x 2 - x + 2 - x 2 2 + 2 2 - x d x = 0 2 2 x - x 2 + 4 - 4 x + x 2 2 + 4 - 2 x d x =

0 2 6 - 2 x - 1 2 x 2 d x = 6 x - x 2 - 1 6 x 3 0 2 =

12 - 4 - 8 6 = 20 3

Resposta

20 3

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