Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial

UFF, Cálculo IIIA, Listas GMA - Lista 5, Questão 23c

23) Calcule

S   F n   d S

c) F x ,   y ,   z = z + 3 x i + z + 3 k e S é a superfície do sólido limitado por z = 1 - y 2 , x = 0 , x = 2 e o plano x y , com n exterior.

Passo 1

Bem, o problema quer claramente que busquemos a resolução da integral de superfície:

S   F n   d S

Para resolver essa integral, poderíamos seguir basicamente 2 caminhos:

1º - Fazer de uma forma direta (parametrizando e tudo mais)

2º - Aplicar o Teorema de Gauss.

Veja você que embora o campo é um pouco simpático com a gente, a superfície é uma superfície composta por outras três superfícies diferentes entre si. Isso já é uma indicação de que vamos ter que pegar o segundo caminho, ou seja, resolver pelo Teorema de Gauss. Mas, se você quer mais certeza ainda, calcule o divergente...

d i v   F = F 1 x + F 2 y + F 2 z

Como

F x ,   y ,   z = z + 3 x i + z + 3 k

Calculando as derivadas parciais:

F 1 x = 3

F 2 y = 0

F 3 z = 1

Logo...

d i v   F = F 1 x + F 2 y + F 2 z = 4

Pow, com um divergente simples desses... Sim, o problema está pedindo que façamos por Gauss!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O teorema basicamente é a igualdade maravilhosa:

S   F n   d S = W   d i v   F   d V

Mas não podemos aplicar essa integral assim... De qualquer forma. Precisamos averiguar as condições do Teorema que nos pede:

1º - Uma superfície fechada S delimitando o sólido W :

Se desenharmos S como o problema nos sugeriu:

Yes! A superfície é fechada. É essa espécie de casinha saca?

2º - Sem singularidades na função Vetorial:

F x ,   y ,   z = z + 3 x i + z + 3 k

Esse campo Vetorial funciona em todas as situações, afinal ele não tem nenhuma divisão por 0 ou algo do tipo.

3º - Superfície orientada positivamente:

Bem, isso significa que precisamos de uma superfície com vetores normais saindo do sólido fechado por ela, o que já acontece lá do enunciado:

Passo 3

Bem, com as três condições sendo satisfeitas, podemos aplicar a igualdade do Teorema sem nenhuma restrição...

S   F n   d S = W   d i v   F   d V

Então se queremos a integral de superfície, calculemos a integral tripla que cara, vai dar muito menos trabalho, acredita em mim!

Passo 4

W   d i v   F   d V = W   4   d V

Para descrever o sólido, veja que o z é o cara que está variando de um cão ao teto...

0 z 1 - y 2

Enquanto isso, o x e o y variam na projeção do sólido no plano x y , ou seja, a sombra dele saca?

Veja que o x varia de 0 até essa reta que é o x = 2 . Enquanto o y , precisamos de encontrar a o encontro da superfície z = 1 - y 2 com o plano x y :

z = 1 - y 2                     1 - y 2 = 0      

y 2 = 1                 y 1 = - 1 y 2 = 1

Logo...

- 1 y 1

Passo 5

Retornando à integral que queremos resolver...

4 W     d V

Onde vamos substituir tudo...

4 W     d V = 4 0 2 - 1 1 0 1 - y 2   d z d y d x

Calculando a integral de dentro em z ...

4 0 2 - 1 1 0 1 - y 2   d z d y d x = 4 0 2 - 1 1 1 - y 2 d y d x =

4 0 2 y - y 3 3 - 1 1 d x = 2 - 2 3 16 =

32 3

Pelo teorema de Gauss, então encontramos o valor que queríamos...

S   F n   d S = 32 3

Resposta

32 3

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