Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial

UFF, Cálculo IIIA, Listas GMA - Lista 5, Questão 23l

23) Calcule

S   F n   d S

l) F x ,   y ,   z = x ,   - 3 y ,   - 2 z e S é a união dos planos y + z = 0 , com 0 x 1 , - 1 y 0 e z = 0 , com 0 x 1 , 0 y 1 , indicando a orientação escolhida para S .

Passo 1

Vamos começar este problema vendo o que vamos fazer para chegar a solução do problema, ok? Inclusive isso é sempre sugerido: sempre coloque em primeiro o lugar o que você terá que fazer para chegar no resultado do problema. Fica a dica 😉!

S   F n   d S

No caso da integral de superfície, existem três coisinhas básicas:

1º - Parametrizar a superfície S .

2º - Encontrar o termo n d S

3º - Trocar os termos da função F pelos termos da parametrização.

Assim que você parametrizar, encontrar e trocar é só meter bronca na integral. Bora? 😊

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A primeira coisa como vimos é parametrizar a superfície do problema. Mas antes: quem é a superfície S dada? Ora, se a gente desenhar conforme o enunciado nos pede:

A união da superfície do plano y + z = 0 com o - 1 y 0 e 0 x 1

“Com a superfície de z = 0 , onde 0 y 1 e 0 x 1

Chegamos a superfície S que queremos parametrizar!

Passo 3

Pow, veja que estamos trabalhando com dois pedaços de planos, logo vamos parametrizar separado, ok?

  1. Parametrizando primeiro o plano inclinado...
  2. y + z = 0        

    z = - y

    Podemos parametrizar esse plano como uma parametrização explícita, ou seja...

    σ 1 x ,   y = x ,   y ,   - y

    Onde os parâmetros são as variáveis x e y e elas variam no intervalo dado para esse plano:

    0 x 1

    - 1 y 0

  3. Quanto ao outro pedaço de plano...

z = 0

Podemos parametrizar como sendo...

σ 2 x ,   y = x ,   y ,   0

Dessa vez, os parâmetros x e y variam para esse plano...

0 x 1

0 y 1

Passo 4

Ok, agora de acordo com o nosso roteiro láaaa do passo 1 , o que devemos fazer agora é encontrar o termo n d S e que pode ser encontrado, fazendo:

n d S = N   d x d y

Onde N é o vetor normal da superfície que a gente encontra assim oh (tendo a parametrização em mãos já heim 😉)

N = σ x × σ y

Bem, temos dois planos, então teremos dois vetores normais:

  1. Ao plano inclinado de parametrização
  2. σ 1 x ,   y = x ,   y ,   - y

    como a parametrização é feita utilizando as parametrizações explicitas podemos evitar esse cálculo chato e seguir o macete aqui oh:

    z = - y

    N = - z x ,   - z y ,   1

    Calculando essas derivadas parciais...

    N = 0 ,   1   ,   1  

    Esse é o vetor apontando pra cima, pois = 1 . Então o termo n d S para esse plano fica sendo...

    n d S = 0 ,   1 ,   1   d x d y

  3. Ao outro plano... σ 2 x ,   y = x ,   y ,   0 , z = 0 ...

N = 0 ,   0   ,   1

Com N também pra cima. Aqui...

n d S = 0 ,   0 ,   1   d x d y

Passo 5

Ótimo, agora vamos simplesmente trocar os termos da função F pelos termos da parametrização. Como temos duas parametrizações... Já sabe neh? Vamos ter uma substituição para cada um dos planos:

F x ,   y ,   z = x ,   - 3 y ,   - 2 z

  1. Para o plano inclinado ( z = - y ):
  2. F σ 1 x ,   y = x ,   - 3 y ,   2 y

  3. Já no segundo plano:

F σ 2 x ,   y = x ,   - 3 y ,   0

Passo 6

Prontinho 😊! Agora basicamente temos que voltar para a integral de superfície:

S   F n   d S

E trocar todos os três caras que descobrimos. Como temos duas superfícies, uma inclinada S 1 e a outra S 2 ...

S   F n   d S = S 1   F n   d S + S 2   F n   d S

Para o plano inclinado:

  1. Trocamos o S 1 por...
  2. 0 x 1

    - 1 y 0

    O n d S = 0 ,   1 ,   1   d x d y e F σ 1 x ,   y = x ,   - 3 y ,   2 y :

    S 1   F n   d S = - 1 0 0 1 x ,   - 3 y ,   2 y 0 ,   1 ,   1   d x d y

    - 1 0 0 1 - y   d x d y = - 1 0 - y   1 - 0 d y =

    - 1 0 - y d y = - y 2 2 - 1 0 =

    1 2

    Para o plano deitado S 2 :

  3. Trocamos o S 2 por...

0 x 1

0 y 1

O n d S = 0 ,   0 ,   1   d x d y e F σ 2 x ,   y = x ,   - 3 y ,   0 :

S 2   F n   d S = 0 1 0 1 x ,   - 3 y ,   0 0 ,   0 ,   1   d x d y

0

Logo...

S   F n   d S = S 1   F n   d S + S 2   F n   d S    

S   F n   d S = 1 2 + 0

Resposta

1 2

Com n apontado para cima.

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas