Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial

UFF, Cálculo IIIA, Listas GMA - Lista 5, Questão 25

Calcule o fluxo de F x , y , z = x i + y j - 2 z k , através da superfície S , parte do cilindro x 2 + y 2 = 2 x , limitado pelo plano z = 0 e pelo cone z = x 2 + y 2 , com vetor normal apontando para fora de S .

Passo 1

A primeira coisa que temos que fazer é parametrizar esse cilindro que ele deu,

x 2 + y 2 = 2 x

Antes, reorganizar essa equação do cilindro aqui:

x 2 - 2 x + 1 + y 2 = 1

x - 1 2 + y 2 = 1

Veja que temos um cilindro deslocado da origem, certo? Sua parametrização fica assim

φ t , θ = 1 + cos θ , sen θ , t

θ 0,2 π

Mas e o t ? Ele deu uma restrição meio louca ali, como vamos fazer essa restrição? Repara que o valor de z vai de 0 até o cone, ou seja,

0 t x 2 + y 2

0 t 1 + cos θ 2 + sen θ 2

Dando uma arrumadinha nisso vamos ter

1 + cos θ 2 + sen θ 2

1 + 2 cos θ + cos 2 θ + sen 2 θ

1 + 2 cos θ + 1

2 + 2 cos θ

0 t 2 + 2 cos θ

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A Integral vai ser

ϕ = S F n d S

Temos que achar o nosso vetor normal

N t , θ = i j k φ x t φ y t φ z t φ x θ φ y θ φ z θ

Nossa superfície é essa aqui, portanto

φ t , θ = 1 + cos θ , sen θ , t

N t , θ = i j k 0 0 1 - sen θ cos θ 0

N t , θ = 0 i + - sen θ j + 0 k - 0 k - 0 j - cos θ i

N t , θ = - cos θ i + - sen θ j + 0 k

Com essa orientação a parada vai ficar com i e j negativos, mas ele quer que fique para fora, então basta trocarmos os sinais do vetor normal

N t , θ = cos θ i + sen θ j + 0 k

Passo 3

A nossa integral vai ficar

ϕ = S F n d S = 0 2 π 0 2 + 2 cos θ 1 + cos θ , sen θ , - 2 t cos θ , sen θ , 0 d t d θ

0 2 π 0 2 + 2 cos θ cos θ + cos 2 θ + sen 2 θ d t d θ

0 2 π 0 2 + 2 cos θ cos θ + 1 d t d θ

0 2 π cos θ + 1 2 + 2 cos θ d θ

0 2 π cos θ + 1 2 1 + cos θ d θ

0 2 π 2 1 + cos θ 3 d θ

Lembrando que

1 + cos θ = 2 cos 2 θ 2

A integral vai ficar

0 2 π 2 2 cos 2 θ 2 3 d θ

0 2 π 16 cos 2 θ 2 3 d θ

4 0 2 π cos 2 θ 2 3 d θ

Quando formos fazer essa raiz devemos ficar atento aos limites de integração, quando estivermos de 0 à π essa parada é positiva, e de π à 2 π essa raiz é negativa, isso porque quando tiramos a raiz de um cara ao quadrado pegamos o módulo dele. A integral vai ficar

4 0 π cos 3 θ 2 d θ - π 2 π cos 3 θ 2 d θ

Tudo se resume a fazer essa integral do cosseno

Passo 4

Vamos resolver

cos 3 θ 2 d θ

Primeiro vamos fazer

θ 2 = a

d θ 2 = d a

d θ = 2 d a

A integral vai ficar

cos 3 θ 2 d θ = 2 cos 3 a d a

Agora vamos ter

2 cos 3 a d a = 2 cos 2 a cos a d a = 2 1 - sen 2 a cos a d a

Vamos fazer

sen a = u

d u = cos a d a

A integral fica

2 1 - sen 2 a cos a d a = 2 1 - u 2 d u

2 1 - u 2 d u = 2 u - u 3 3

Voltando para a

2 u - u 3 3 = 2 sen a - sen 3 a 3

Agora voltando para θ

2 sen a - sen 3 a 3 = 2 sen θ 2 - sen 3 θ 2 3

Passo 5

Vamos voltar agora para a integral do passo 3

4 0 π / 2 cos 3 θ 2 d θ + 3 π / 2 2 π cos 3 θ 2 d θ - π / 2 3 π / 2 cos 3 θ 2 d θ

Vai ficar

4 2 sen θ 2 - sen 3 θ 2 3 0 π - 2 sen θ 2 - sen 3 θ 2 3 π 2 π

8 sen θ 2 - sen 3 θ 2 3 0 π - sen θ 2 - sen 3 θ 2 3 π 2 π

8 sen π 2 - sen 3 π 2 3 - sen 0 2 - sen 3 0 2 3 - sen 2 π 2 - sen 3 2 π 2 3 - sen π 2 - sen 3 π 2 3

8 1 - 1 3 - 0 - 0 - 0 - 0 - 1 - 1 3

8 2 3 - 0 - 0 - 2 3

8 2 3 + 2 3

8 4 3

32 3

Resposta

32 3

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