Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial

UFF, Cálculo IIIA, Listas GMA - Lista 5, Questão 24

Calcule o fluxo de F x , y , z = y 2 + z 2 , x , x , através da superfície de revolução obtida girando o segmento de reta que liga o ponto 4,1 , 0 a 2,4 , 0 em torno do eixo x , onde o vetor n tem componente i não negativa.

Passo 1

O fluxo é a integral de superfície de F por essa superfície, vamos começar fazendo a parametrização desse segmento de reta que liga esses pontos, o vetor direção desse segmento de reta vai ser

2,4 , 0 - 4,1 , 0 = 2 - 4,4 - 1,0 = - 2,3 , 0

O segmento vai ser

r t = 4,1 , 0 + t - 2,3 , 0 = 4 - 2 t , 1 + 3 t , 0

O valor de t vai de 0 à 1 para que assim ele vá de 4,1 , 0 à 2,4 , 0

Vamos ter

x t = 4 - 2 t

y t = 1 + 3 t

Rotacionando em torno do eixo x , a parametrização dessa superfície vai ser

φ t , θ = x t , y t cos θ , y t sen θ

φ t , θ = 4 - 2 t , 3 t + 1 cos θ , 3 t + 1 sen θ

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A Integral vai ser

ϕ = S F n d S

Temos que achar o nosso vetor normal

N t , θ = i j k φ x t φ y t φ z t φ x θ φ y θ φ z θ

N t , θ = i j k - 2 3 cos θ 3 sen θ 0 - 3 t + 1 sen θ 3 t + 1 cos θ

N t , θ = 3 3 t + 1 cos 2 θ i + 0 j + 2 3 t + 1 sen θ k - 0 k - - 2 3 t + 1 cos θ j - - 3 3 t + 1 sen 2 θ i

N t , θ = 3 3 t + 1 cos 2 θ + 3 3 t + 1 sen 2 θ i + 2 3 t + 1 cos θ j + 2 3 t + 1 sen θ k

N t , θ = 3 3 t + 1 i + 2 3 t + 1 cos θ j + 2 3 t + 1 sen θ k

Passo 3

Para calcular a integral, precisamos substituir a parametrização da superfície no fluxo F e, em seguida, fazer o produto escalar entre ele e a normal

Primeiramente o fluxo fica assim:

F = 3 t + 1 cos θ 2 + 3 t + 1 sen θ 2 , 4 - 2 t , 4 - 2 t

= 3 t + 1 2 cos 2 θ + 3 t + 1 2 sen 2 θ , 4 - 2 t , 4 - 2 t

Colocando 3 t + 1 2 em evidência e considerando cos 2 θ + sen 2 θ = 1 , ficamos com

F = 3 t + 1 2 , 4 - 2 t , 4 - 2 t

Fazendo o produto escalar vamos ter

F n = 3 t + 1 2 , 4 - 2 t , 4 - 2 t 3 3 t + 1 , 2 3 t + 1 cos θ , 2 3 t + 1 sen θ

F n = 3 3 t + 1 3 + 2 4 - 2 t 3 t + 1 cos θ + 2 4 - 2 t 3 t + 1 sen θ

A integral vai ficar

ϕ = S F n d S

ϕ = 0 1 0 2 π 3 3 t + 1 3 + 2 4 - 2 t 3 t + 1 cos θ + 2 4 - 2 t 3 t + 1 sen θ d θ d t

0 1 3 3 t + 1 3 θ + 2 4 - 2 t 3 t + 1 sen θ - 2 4 - 2 t 3 t + 1 cos θ θ = 0 2 π d t

0 1 3 3 t + 1 3 2 π - 0 + 2 4 - 2 t 3 t + 1 sen 2 π - sen 0 - 2 4 - 2 t 3 t + 1 cos 2 π - cos 0 d t

Os termos com seno e cosseno vão desaparecer aqui! Todos eles vão dar zero, com isso só sobra o seguinte:

0 1 6 π 3 t + 1 3 d t

0 1 6 π 27 t 3 + 27 t 2 + 9 t + 1 d t

6 π 27 t 4 4 + 27 t 3 3 + 9 t 2 2 + t t = 0 1

6 π 27 1 4 4 + 27 1 3 3 + 9 1 2 2 + 1 - 27 0 4 4 + 27 0 3 3 + 9 0 2 2 + 0

6 π 27 4 + 27 3 + 9 2 + 1 - 0

6 π 85 4

255 π 2

Resposta

255 π 2

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